Theorem rneq 4186

Description: Equality theorem for range.

Assertion

Ref	Expression
rneq	|- (A = B -> ran A = ran B)

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4135	. . 3 |- (A = B -> `'A = `'B)
2	1	dmeqd 4159	. 2 |- (A = B -> dom `' A = dom `' B)
3		df-rn 4005	. 2 |- ran A = dom `' A
4		df-rn 4005	. 2 |- ran B = dom `' B
5	2, 3, 4	3eqtr4g 1953	1 |- (A = B -> ran A = ran B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  rneqi 4187  rneqd 4188  feq1 4551  foeq1 4613  fvres 4691  fconst5 4824  tz7.44-3 5138  rdglem2 5146  map0e 5401  ordtypelem1 5684  ordtypelem6 5689  ordtype 5691  aceq5lem3 5899  numthlem 5945  numth 5946  zorn2lem1 5950  zorn2 5958  infxpidmlem4 8824  infxpidmlem8 8828  infxpidmlem10 8830  infmap2lem2 8849  bcth 9310  gid0 9338  grpidvallem 9341  grpidval 9342  grpinvfval 9350  grpdivfval 9366  gxoprval 9380  isabl 9409  isgalem 9449  isring 9465  ringi 9466  vci 9499  isvclem 9528  isnvlem 9561  nvi 9565  isphg 9817  elghomlem1 10193  idrval 10374  iscom2 10396  on1el3 10412  on1el4 10413  isdivrng 10417  pj11i 11291  pjss1coi 11735  ghomgrplem 13632  elgiso 13639  frxp 13951  fopab2g 14485  mgmrddd 14727  fprodneg 14741  fprodsub 14742  com2i 14765  rnplrnml3 14768  vecval1b 14794  vecval3b 14795  vri 14834  isalg 15068  algi 15074  isplibg0 15307  ordtypelem1OLD 15375  ordtypelem6OLD 15380  ordtypeOLD 15382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain