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Theorem rnelfmlem 17937
Description: Lemma for rnelfm 17938. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.)
Assertion
Ref Expression
rnelfmlem  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, X    x, Y

Proof of Theorem rnelfmlem
Dummy variables  r 
s  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
2 cnvimass 5183 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
3 fdm 5554 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
42, 3syl5sseq 3356 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
x )  C_  Y
)
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x ) 
C_  Y )
6 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
7 elpw2g 4323 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
95, 8mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x )  e.  ~P Y )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( `' F "
x )  e.  ~P Y )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
1210, 11fmptd 5852 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y
)
13 frn 5556 . . 3  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ~P Y )
15 filtop 17840 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
16153ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
18 fimacnv 5821 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F " X )  =  Y )
1918eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
20193ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
2120adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
22 imaeq2 5158 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " X ) )
2322eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( Y  =  ( `' F " x )  <->  Y  =  ( `' F " X ) ) )
2423rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  =  ( `' F " X ) )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2517, 21, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2611elrnmpt 5076 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
27263ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2925, 28mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
30 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) )
32 0nelfil 17834 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  L
)
33323ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  -.  (/)  e.  L )
3433adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  L )
35 0ex 4299 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
3611elrnmpt 5076 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
3735, 36ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) )
38 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
39 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
41403ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
43 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
4443biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( F `  z )  =  y )  -> 
( F `  z
)  e.  x )
4544ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
4645adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
47 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
48473ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
4948ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  Fun  F )
503eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  Y ) )
5150biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
52513ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  z  e.  Y
)  ->  z  e.  dom  F )
5352adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
5453ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  dom  F )
55 fvimacnv 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5649, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5746, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  ( `' F " x ) )
58 n0i 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  ( `' F " x )  =  (/) )
59 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  (/)  =  ( `' F " x ) )
6058, 59sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6261rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6342, 62sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6463con2d 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6564expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( y  e.  x  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6665com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6766impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6867alrimiv 1638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
69 imnan 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
70 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
7169, 70xchbinxr 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  y  e.  ( x  i^i  ran  F
) )
7271albii 1572 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
73 eq0 3602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
74 eqcom 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7572, 73, 743bitr2i 265 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7668, 75sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
77 simpll2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
78 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  x  e.  L )
79 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  ran  F  e.  L )
80 filin 17839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8177, 78, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8276, 81eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  e.  L
)
8382rexlimdvaa 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x )  ->  (/)  e.  L
) )
8437, 83syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  (/)  e.  L
) )
8534, 84mtod 170 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
86 df-nel 2570 . . . 4  |-  ( (/)  e/ 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  -.  (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
8785, 86sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
88 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  r  e. 
_V
8911elrnmpt 5076 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) ) )
9088, 89ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) )
91 imaeq2 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " u ) )
9291eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
r  =  ( `' F " x )  <-> 
r  =  ( `' F " u ) ) )
9392cbvrexv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
9490, 93bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
95 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
9611elrnmpt 5076 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
98 imaeq2 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " v ) )
9998eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
s  =  ( `' F " x )  <-> 
s  =  ( `' F " v ) ) )
10099cbvrexv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10197, 100bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10294, 101anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <-> 
( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
103 reeanv 2835 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  <->  ( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
104102, 103bitr4i 244 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) )
105 filin 17839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  u  e.  L  /\  v  e.  L )  ->  (
u  i^i  v )  e.  L )
1061053expb 1154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
107106adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
108 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
( u  i^i  v
) ) )
109 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )
110109eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) ) )
111110rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  L  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
112107, 108, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) )
1131123adantl1 1113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ( u  e.  L  /\  v  e.  L ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
114113ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
115 simpll1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
116 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  dom  F
117116, 3syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
1181173ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
119118ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
120115, 119ssexd 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  _V )
12111elrnmpt 5076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( u  i^i  v ) )  e.  _V  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( ( `' F " ( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
123114, 122mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
124 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
r  =  ( `' F " u ) )
125 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
s  =  ( `' F " v ) )
126124, 125ineq12d 3503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
127 funcnvcnv 5468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
128 imain 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
12947, 127, 1283syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
1301293ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
131130ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
132126, 131eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) )
133 eqimss2 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  i^i  s )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  (
r  i^i  s )
)
135 sseq1 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  (
t  C_  ( r  i^i  s )  <->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( r  i^i  s
) ) )
136135rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
137123, 134, 136syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
138137exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( u  e.  L  /\  v  e.  L
)  ->  ( (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) ) )
139138rexlimdvv 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
140104, 139syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
141140ralrimivv 2757 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
14231, 87, 1413jca 1134 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
143 isfbas2 17820 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
1446, 143syl 16 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
14514, 142, 144mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    e/ wnel 2568   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   fBascfbas 16644   Filcfil 17830
This theorem is referenced by:  rnelfm  17938  fmfnfm  17943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-fbas 16654  df-fil 17831
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