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Theorem rnelfmlem 19525
Description: Lemma for rnelfm 19526. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.)
Assertion
Ref Expression
rnelfmlem  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, X    x, Y

Proof of Theorem rnelfmlem
Dummy variables  r 
s  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
2 cnvimass 5189 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
3 fdm 5563 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
42, 3syl5sseq 3404 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
x )  C_  Y
)
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x ) 
C_  Y )
6 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
7 elpw2g 4455 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
95, 8mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x )  e.  ~P Y )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( `' F "
x )  e.  ~P Y )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
1210, 11fmptd 5867 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y
)
13 frn 5565 . . 3  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ~P Y )
15 filtop 19428 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
16153ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
18 fimacnv 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F " X )  =  Y )
1918eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
20193ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
22 imaeq2 5165 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " X ) )
2322eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( Y  =  ( `' F " x )  <->  Y  =  ( `' F " X ) ) )
2423rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  =  ( `' F " X ) )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2517, 21, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2611elrnmpt 5086 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
27263ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2925, 28mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
30 ne0i 3643 . . . 4  |-  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) )
32 0nelfil 19422 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  L
)
33323ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  -.  (/)  e.  L )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  L )
35 0ex 4422 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
3611elrnmpt 5086 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) )
38 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
39 fvelrnb 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
41403ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
43 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
4443biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( F `  z )  =  y )  -> 
( F `  z
)  e.  x )
4544ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
4645adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
47 ffun 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
48473ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  Fun  F )
503eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  Y ) )
5150biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
52513ad2antl3 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  z  e.  Y
)  ->  z  e.  dom  F )
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
5453ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  dom  F )
55 fvimacnv 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5649, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5746, 56mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  ( `' F " x ) )
58 n0i 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  ( `' F " x )  =  (/) )
59 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  (/)  =  ( `' F " x ) )
6058, 59sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6261rexlimdvaa 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6342, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6463con2d 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6564expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( y  e.  x  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6665com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6766impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6867alrimiv 1685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
69 imnan 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
70 elin 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
7169, 70xchbinxr 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  y  e.  ( x  i^i  ran  F
) )
7271albii 1610 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
73 eq0 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
74 eqcom 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7572, 73, 743bitr2i 273 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7668, 75sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
77 simpll2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
78 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  x  e.  L )
79 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  ran  F  e.  L )
80 filin 19427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8177, 78, 79, 80syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8276, 81eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  e.  L
)
8382rexlimdvaa 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x )  ->  (/)  e.  L
) )
8437, 83syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  (/)  e.  L
) )
8534, 84mtod 177 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
86 df-nel 2609 . . . 4  |-  ( (/)  e/ 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  -.  (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
8785, 86sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
88 vex 2975 . . . . . . . . 9  |-  r  e. 
_V
8911elrnmpt 5086 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) ) )
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) )
91 imaeq2 5165 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " u ) )
9291eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
r  =  ( `' F " x )  <-> 
r  =  ( `' F " u ) ) )
9392cbvrexv 2948 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
9490, 93bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
95 vex 2975 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
9611elrnmpt 5086 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
98 imaeq2 5165 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " v ) )
9998eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
s  =  ( `' F " x )  <-> 
s  =  ( `' F " v ) ) )
10099cbvrexv 2948 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10197, 100bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10294, 101anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <-> 
( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
103 reeanv 2888 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  <->  ( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
104102, 103bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) )
105 filin 19427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  u  e.  L  /\  v  e.  L )  ->  (
u  i^i  v )  e.  L )
1061053expb 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
108 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
( u  i^i  v
) ) )
109 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )
110109eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) ) )
111110rspcev 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  L  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
112107, 108, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) )
1131123adantl1 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ( u  e.  L  /\  v  e.  L ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
114113ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
115 simpll1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
116 cnvimass 5189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  dom  F
117116, 3syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
1181173ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
120115, 119ssexd 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  _V )
12111elrnmpt 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( u  i^i  v ) )  e.  _V  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( ( `' F " ( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
123114, 122mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
124 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
r  =  ( `' F " u ) )
125 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
s  =  ( `' F " v ) )
126124, 125ineq12d 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
127 funcnvcnv 5476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
128 imain 5494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
12947, 127, 1283syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
1301293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
132126, 131eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) )
133 eqimss2 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  i^i  s )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  (
r  i^i  s )
)
135 sseq1 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  (
t  C_  ( r  i^i  s )  <->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( r  i^i  s
) ) )
136135rspcev 3073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
137123, 134, 136syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
138137exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( u  e.  L  /\  v  e.  L
)  ->  ( (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) ) )
139138rexlimdvv 2847 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
140104, 139syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
141140ralrimivv 2807 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
14231, 87, 1413jca 1168 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
143 isfbas2 19408 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
1446, 143syl 16 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
14514, 142, 144mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    e/ wnel 2607   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   fBascfbas 17804   Filcfil 19418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-fbas 17814  df-fil 19419
This theorem is referenced by:  rnelfm  19526  fmfnfm  19531
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