Theorem rnelfm 21046

Description: A condition for a filter to be an image filter for a given function. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rnelfm	|- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( L e. ran ( X FilMap F ) <-> ran F e. L ) )

Proof of Theorem rnelfm

Dummy variables b s t x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 20948	. . . . . . 7 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
2	1	3ad2ant2 1052	. . . . . 6 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> X e. L )
3		simp1 1030	. . . . . 6 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> Y e. A )
4		simp3 1032	. . . . . 6 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> F : Y --> X )
5		fmf 21038	. . . . . 6 |- ( ( X e. L /\ Y e. A /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )
7		ffn 5739	. . . . 5 |- ( ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) -> ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) )
9		fvelrnb 5926	. . . 4 |- ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) -> ( L e. ran ( X FilMap F ) <-> E. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) = L ) )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( L e. ran ( X FilMap F ) <-> E. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) = L ) )
11		ffn 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> F Fn Y )
12		dffn4 5812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn Y <-> F : Y -onto-> ran F )
13	11, 12	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y --> X -> F : Y -onto-> ran F )
14		foima 5811	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y -onto-> ran F -> ( F " Y ) = ran F )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y --> X -> ( F " Y ) = ran F )
16	15	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ( F " Y ) = ran F )
17		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> X e. L )
18		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> b e. ( fBas ` Y ) )
19		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> F : Y --> X )
20		fgcl 20971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen b ) e. ( Fil ` Y ) )
21		filtop 20948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y filGen b ) e. ( Fil ` Y ) -> Y e. ( Y filGen b ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( fBas ` Y ) -> Y e. ( Y filGen b ) )
23	22	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> Y e. ( Y filGen b ) )
24		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y filGen b ) = ( Y filGen b )
25	24	imaelfm 21044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ b e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ Y e. ( Y filGen b ) ) -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` b ) )
26	17, 18, 19, 23, 25	syl31anc 1295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` b ) )
27	16, 26	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ran F e. ( ( X FilMap F ) ` b ) )
28		eleq2 2538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ( ran F e. ( ( X FilMap F ) ` b ) <-> ran F e. L ) )
29	27, 28	syl5ibcom 228	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ran F e. L ) )
30	29	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( X e. L /\ F : Y --> X ) -> ( b e. ( fBas ` Y ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ran F e. L ) ) )
31	1, 30	sylan 479	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( b e. ( fBas ` Y ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ran F e. L ) ) )
32	31	3adant1 1048	. . . 4 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( b e. ( fBas ` Y ) -> ( ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ran F e. L ) ) )
33	32	rexlimdv 2870	. . 3 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) = L -> ran F e. L ) )
34	10, 33	sylbid 223	. 2 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( L e. ran ( X FilMap F ) -> ran F e. L ) )
35		simpl2 1034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> L e. ( Fil ` X ) )
36		filelss 20945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ t e. L ) -> t C_ X )
37	36	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( t e. L -> t C_ X ) )
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. L -> t C_ X ) )
39		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> t e. L )
40		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) = ( `' F " t ) )
41		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = t -> ( `' F " x ) = ( `' F " t ) )
42	41	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = t -> ( ( `' F " t ) = ( `' F " x ) <-> ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) )
43	42	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. L /\ ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
44	39, 40, 43	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
45		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> Y e. A )
46		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' F " t ) C_ dom F
47		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
48	46, 47	syl5sseq 3466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : Y --> X -> ( `' F " t ) C_ Y )
49	48	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( `' F " t ) C_ Y )
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( `' F " t ) C_ Y )
51	45, 50	ssexd 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( `' F " t ) e. _V )
52		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) = ( x e. L |-> ( `' F " x ) )
53	52	elrnmpt 5087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " t ) e. _V -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
56	44, 55	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
57		ssid 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " t ) C_ ( `' F " t )
58		ffun 5742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
59	58	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> Fun F )
60	59	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> Fun F )
61		funimass3 6013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " t ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( `' F " t ) ) C_ t <-> ( `' F " t ) C_ ( `' F " t ) ) )
62	60, 46, 61	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> ( ( F " ( `' F " t ) ) C_ t <-> ( `' F " t ) C_ ( `' F " t ) ) )
63	57, 62	mpbiri 241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
64		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( F " s ) = ( F " ( `' F " t ) ) )
65	64	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) )
66	65	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) -> E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t )
67	56, 63, 66	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ t e. L ) -> E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t )
68	67	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. L -> E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) )
69	38, 68	jcad 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. L -> ( t C_ X /\ E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
70	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " s ) C_ t ) /\ t C_ X ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
71		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- s e. _V
72	52	elrnmpt 5087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. _V -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) )
74		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " x )
75	59	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> Fun F )
76		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' F " x ) C_ dom F
77		funimass3 6013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " x ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ x <-> ( `' F " x ) C_ ( `' F " x ) ) )
78	75, 76, 77	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ x <-> ( `' F " x ) C_ ( `' F " x ) ) )
79	74, 78	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) C_ x )
80		imassrn 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F " ( `' F " x ) ) C_ ran F
81	79, 80	jctir 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ x /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ ran F ) )
82		ssin 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ x /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ ran F ) <-> ( F " ( `' F " x ) ) C_ ( x i^i ran F ) )
83	81, 82	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) C_ ( x i^i ran F ) )
84		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. ( x i^i ran F ) <-> ( z e. x /\ z e. ran F ) )
85		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F Fn Y -> ( z e. ran F <-> E. y e. Y ( F ` y ) = z ) )
86	11, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( F : Y --> X -> ( z e. ran F <-> E. y e. Y ( F ` y ) = z ) )
87	86	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( z e. ran F <-> E. y e. Y ( F ` y ) = z ) )
88	87	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( z e. ran F <-> E. y e. Y ( F ` y ) = z ) )
89	75	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) /\ ( F ` y ) e. x ) -> Fun F )
90	89, 76	jctir 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) /\ ( F ` y ) e. x ) -> ( Fun F /\ ( `' F " x ) C_ dom F ) )
91	59	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> Fun F )
92	91	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) -> Fun F )
93	47	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> dom F = Y )
94	93	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> dom F = Y )
95	94	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( y e. dom F <-> y e. Y ) )
96	95	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) -> y e. dom F )
97		fvimacnv 6012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
98	92, 96, 97	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
99	98	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) /\ ( F ` y ) e. x ) -> y e. ( `' F " x ) )
100		funfvima2 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " x ) C_ dom F ) -> ( y e. ( `' F " x ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
101	90, 99, 100	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) /\ ( F ` y ) e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( `' F " x ) ) )
102	101	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
103		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( F ` y ) e. x <-> z e. x ) )
104		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( F ` y ) e. ( F " ( `' F " x ) ) <-> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
105	103, 104	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( `' F " x ) ) ) <-> ( z e. x -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
106	102, 105	syl5ibcom 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` y ) = z -> ( z e. x -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
107	106	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( E. y e. Y ( F ` y ) = z -> ( z e. x -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
108	88, 107	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( z e. ran F -> ( z e. x -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
109	108	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( z e. x -> ( z e. ran F -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
110	109	impd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( z e. x /\ z e. ran F ) -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
111	84, 110	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( z e. ( x i^i ran F ) -> z e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
112	111	ssrdv 3424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( x i^i ran F ) C_ ( F " ( `' F " x ) ) )
113	83, 112	eqssd 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) = ( x i^i ran F ) )
114		filin 20947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ x e. L /\ ran F e. L ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
115	114	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( x e. L -> ( ran F e. L -> ( x i^i ran F ) e. L ) ) )
116	115	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( ran F e. L -> ( x e. L -> ( x i^i ran F ) e. L ) ) )
117	116	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( ran F e. L -> ( x e. L -> ( x i^i ran F ) e. L ) ) )
118	117	imp31 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
119	118	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
120	113, 119	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( `' F " x ) ) e. L )
121	120	exp32 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " ( `' F " x ) ) e. L ) ) )
122		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( F " s ) = ( F " ( `' F " x ) ) )
123	122	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) )
124	122	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) e. L <-> ( F " ( `' F " x ) ) e. L ) )
125	124	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( t C_ X -> ( F " s ) e. L ) <-> ( t C_ X -> ( F " ( `' F " x ) ) e. L ) ) )
126	123, 125	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " s ) e. L ) ) <-> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " ( `' F " x ) ) e. L ) ) ) )
127	121, 126	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " s ) e. L ) ) ) )
128	127	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( E. x e. L s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " s ) e. L ) ) ) )
129	73, 128	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> ( F " s ) e. L ) ) ) )
130	129	imp44 607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " s ) C_ t ) /\ t C_ X ) ) -> ( F " s ) e. L )
131		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " s ) C_ t ) /\ t C_ X ) ) -> t C_ X )
132		simprlr 781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " s ) C_ t ) /\ t C_ X ) ) -> ( F " s ) C_ t )
133		filss 20946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( ( F " s ) e. L /\ t C_ X /\ ( F " s ) C_ t ) ) -> t e. L )
134	70, 130, 131, 132, 133	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( F " s ) C_ t ) /\ t C_ X ) ) -> t e. L )
135	134	exp44 624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
136	135	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
137	136	com23 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t C_ X -> ( E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t -> t e. L ) ) )
138	137	impd 438	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( t C_ X /\ E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) -> t e. L ) )
139	69, 138	impbid 195	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
140	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> X e. L )
141		rnelfmlem 21045	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) )
142		simpl3 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> F : Y --> X )
143		elfm 21040	. . . . . . 7 |- ( ( X e. L /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
144	140, 141, 142, 143	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
145	139, 144	bitr4d 264	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( t e. L <-> t e. ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
146	145	eqrdv 2469	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> L = ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) )
147	8	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) )
148		fnfvelrn 6034	. . . . 5 |- ( ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. ran ( X FilMap F ) )
149	147, 141, 148	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( X FilMap F ) ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. ran ( X FilMap F ) )
150	146, 149	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> L e. ran ( X FilMap F ) )
151	150	ex 441	. 2 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( ran F e. L -> L e. ran ( X FilMap F ) ) )
152	34, 151	impbid 195	1 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( L e. ran ( X FilMap F ) <-> ran F e. L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938   FilMap cfm 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-fm 21031

This theorem is referenced by: (None)