MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnelfm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rnelfm 21046
Description: A condition for a filter to be an image filter for a given function. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rnelfm  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )

Proof of Theorem rnelfm
Dummy variables  b 
s  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filtop 20948 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
213ad2ant2 1052 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
3 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  A )
4 simp3 1032 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
5 fmf 21038 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  e.  A  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
) )
7 ffn 5739 . . . . 5  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
9 fvelrnb 5926 . . . 4  |-  ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  ->  ( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  =  L ) )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L ) )
11 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
12 dffn4 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
1311, 12sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
14 foima 5811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " Y
)  =  ran  F
)
1615ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  =  ran  F )
17 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  L )
18 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
19 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
20 fgcl 20971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y ) )
21 filtop 20948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2322adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen b )  =  ( Y filGen b )
2524imaelfm 21044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen b ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2617, 18, 19, 23, 25syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2716, 26eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  b ) )
28 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ( ran  F  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  <->  ran  F  e.  L
) )
2927, 28syl5ibcom 228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3029ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
311, 30sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
32313adant1 1048 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
3332rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. b  e.  ( fBas `  Y
) ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3410, 33sylbid 223 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  ->  ran  F  e.  L ) )
35 simpl2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
36 filelss 20945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
3736ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
t  C_  X )
)
39 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  t  e.  L )
40 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) )
41 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
4241eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
4342rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
4439, 40, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
45 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
46 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
47 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
4846, 47syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
49483ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t ) 
C_  Y )
5145, 50ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
5352elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5644, 55mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
57 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
58 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
59583ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
6059ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  Fun  F )
61 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6260, 46, 61sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6357, 62mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
64 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
6564sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
6665rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6756, 63, 66syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6867ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
6938, 68jcad 542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
7035adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
71 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
7252elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
74 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " x )
7559ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  Fun  F )
76 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
77 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  x 
<->  ( `' F "
x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7875, 76, 77sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  <->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7974, 78mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  x )
80 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F
" ( `' F " x ) )  C_  ran  F
8179, 80jctir 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F ) )
82 ssin 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F )  <-> 
( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F ) )
8381, 82sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F
) )
84 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F ) )
85 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8611, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
87863ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8887ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8975ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  Fun  F )
9089, 76jctir 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( Fun  F  /\  ( `' F " x )  C_  dom  F ) )
9159ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  Fun  F )
9291ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  Fun  F )
93473ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
9493ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  dom  F  =  Y )
9594eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  Y ) )
9695biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  dom  F )
97 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9892, 96, 97syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9998biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  y  e.  ( `' F " x ) )
100 funfvima2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
10190, 99, 100sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) )
102101ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
103 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
104 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  <->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
105103, 104imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
106102, 105syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  =  z  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z  ->  (
z  e.  x  -> 
z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
10888, 107sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  ( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
109108com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  e.  ran  F  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
110109impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F )  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
11184, 110syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
112111ssrdv 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  ( F "
( `' F "
x ) ) )
11383, 112eqssd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  =  ( x  i^i  ran  F ) )
114 filin 20947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
1151143exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( ran 
F  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
116115com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ran  F  e.  L  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
1171163ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
118117imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L )
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
120113, 119eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L )
121120exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) )
122 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
123122sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
124122eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  e.  L  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  e.  L ) )
125124imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L )  <-> 
( t  C_  X  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L ) ) )
126123, 125imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) ) )
127121, 126syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
128127rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) ) ) )
12973, 128syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
130129imp44 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  e.  L
)
131 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
132 simprlr 781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  C_  t
)
133 filss 20946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( F " s
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  ( F " s )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13470, 130, 131, 132, 133syl13anc 1294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp44 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
136135rexlimdv 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137136com23 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
138137impd 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
13969, 138impbid 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
1402adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
141 rnelfmlem 21045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
142 simpl3 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
143 elfm 21040 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  L  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
144140, 141, 142, 143syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
145139, 144bitr4d 264 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
146145eqrdv 2469 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
1478adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
148 fnfvelrn 6034 . . . . 5  |-  ( ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
149147, 141, 148syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
150146, 149eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
151150ex 441 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) ) )
15234, 151impbid 195 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Filcfil 20938    FilMap cfm 21026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-fm 21031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator