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Theorem rnelfm 19426
Description: A condition for a filter to be an image filter for a given function. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rnelfm  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )

Proof of Theorem rnelfm
Dummy variables  b 
s  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filtop 19328 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
213ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
3 simp1 983 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  A )
4 simp3 985 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
5 fmf 19418 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  e.  A  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
) )
7 ffn 5556 . . . . 5  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
9 fvelrnb 5736 . . . 4  |-  ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  ->  ( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  =  L ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L ) )
11 ffn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
12 dffn4 5623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
14 foima 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " Y
)  =  ran  F
)
1615ad2antlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  =  ran  F )
17 simpll 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  L )
18 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
19 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
20 fgcl 19351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y ) )
21 filtop 19328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2322adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
24 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen b )  =  ( Y filGen b )
2524imaelfm 19424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen b ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2617, 18, 19, 23, 25syl31anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2716, 26eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  b ) )
28 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ( ran  F  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  <->  ran  F  e.  L
) )
2927, 28syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3029ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
311, 30sylan 468 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
32313adant1 1001 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
3332rexlimdv 2838 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. b  e.  ( fBas `  Y
) ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3410, 33sylbid 215 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  ->  ran  F  e.  L ) )
35 simpl2 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
36 filelss 19325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
3736ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
3835, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
t  C_  X )
)
39 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  t  e.  L )
40 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) )
41 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
4241eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
4342rspcev 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
4439, 40, 43syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
45 simpl1 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
46 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
47 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
4846, 47syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
49483ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t ) 
C_  Y )
5145, 50ssexd 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
5352elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5644, 55mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
57 ssid 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
58 ffun 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
59583ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
6059ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  Fun  F )
61 funimass3 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6260, 46, 61sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6357, 62mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
64 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
6564sseq1d 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
6665rspcev 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6756, 63, 66syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6867ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
6938, 68jcad 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
7035adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
71 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
7252elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
74 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " x )
7559ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  Fun  F )
76 cnvimass 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
77 funimass3 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  x 
<->  ( `' F "
x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7875, 76, 77sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  <->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7974, 78mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  x )
80 imassrn 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F
" ( `' F " x ) )  C_  ran  F
8179, 80jctir 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F ) )
82 ssin 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F )  <-> 
( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F ) )
8381, 82sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F
) )
84 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F ) )
85 fvelrnb 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8611, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
87863ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8887ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8975ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  Fun  F )
9089, 76jctir 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( Fun  F  /\  ( `' F " x )  C_  dom  F ) )
9159ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  Fun  F )
9291ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  Fun  F )
93473ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
9493ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  dom  F  =  Y )
9594eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  Y ) )
9695biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  dom  F )
97 fvimacnv 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9892, 96, 97syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9998biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  y  e.  ( `' F " x ) )
100 funfvima2 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
10190, 99, 100sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
103 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
104 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  <->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
105103, 104imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
106102, 105syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  =  z  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z  ->  (
z  e.  x  -> 
z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
10888, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  ( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
109108com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  e.  ran  F  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
110109imp3a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F )  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
11184, 110syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
112111ssrdv 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  ( F "
( `' F "
x ) ) )
11383, 112eqssd 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  =  ( x  i^i  ran  F ) )
114 filin 19327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
1151143exp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( ran 
F  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
116115com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ran  F  e.  L  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
1171163ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
118117imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L )
119118adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
120113, 119eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L )
121120exp32 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) )
122 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
123122sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
124122eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  e.  L  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  e.  L ) )
125124imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L )  <-> 
( t  C_  X  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L ) ) )
126123, 125imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) ) )
127121, 126syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
128127rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) ) ) )
12973, 128syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
130129imp44 593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  e.  L
)
131 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
132 simprlr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  C_  t
)
133 filss 19326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( F " s
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  ( F " s )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13470, 130, 131, 132, 133syl13anc 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp44 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
136135rexlimdv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137136com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
138137imp3a 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
13969, 138impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
1402adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
141 rnelfmlem 19425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
142 simpl3 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
143 elfm 19420 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  L  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
144140, 141, 142, 143syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
145139, 144bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
146145eqrdv 2439 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
1478adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
148 fnfvelrn 5837 . . . . 5  |-  ( ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
149147, 141, 148syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
150146, 149eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
151150ex 434 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) ) )
15234, 151impbid 191 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   fBascfbas 17704   filGencfg 17705   Filcfil 19318    FilMap cfm 19406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-fil 19319  df-fm 19411
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