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Theorem rnelfm 20960
Description: A condition for a filter to be an image filter for a given function. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rnelfm  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )

Proof of Theorem rnelfm
Dummy variables  b 
s  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filtop 20862 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
213ad2ant2 1028 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
3 simp1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  A )
4 simp3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
5 fmf 20952 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  e.  A  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
) )
7 ffn 5744 . . . . 5  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
9 fvelrnb 5926 . . . 4  |-  ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  ->  ( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  =  L ) )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L ) )
11 ffn 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
12 dffn4 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
1311, 12sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
14 foima 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " Y
)  =  ran  F
)
1615ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  =  ran  F )
17 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  L )
18 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
19 simplr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
20 fgcl 20885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y ) )
21 filtop 20862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2322adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
24 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen b )  =  ( Y filGen b )
2524imaelfm 20958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen b ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2617, 18, 19, 23, 25syl31anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2716, 26eqeltrrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  b ) )
28 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ( ran  F  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  <->  ran  F  e.  L
) )
2927, 28syl5ibcom 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3029ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
311, 30sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
32313adant1 1024 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
3332rexlimdv 2916 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. b  e.  ( fBas `  Y
) ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3410, 33sylbid 219 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  ->  ran  F  e.  L ) )
35 simpl2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
36 filelss 20859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
3736ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
t  C_  X )
)
39 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  t  e.  L )
40 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) )
41 imaeq2 5181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
4241eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
4342rspcev 3183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
4439, 40, 43syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
45 simpl1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
46 cnvimass 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
47 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
4846, 47syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
49483ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t ) 
C_  Y )
5145, 50ssexd 4569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
52 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
5352elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5644, 55mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
57 ssid 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
58 ffun 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
59583ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
6059ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  Fun  F )
61 funimass3 6011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6260, 46, 61sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6357, 62mpbiri 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
64 imaeq2 5181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
6564sseq1d 3492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
6665rspcev 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6756, 63, 66syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6867ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
6938, 68jcad 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
7035adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
71 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
7252elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
74 ssid 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " x )
7559ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  Fun  F )
76 cnvimass 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
77 funimass3 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  x 
<->  ( `' F "
x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7875, 76, 77sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  <->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7974, 78mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  x )
80 imassrn 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F
" ( `' F " x ) )  C_  ran  F
8179, 80jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F ) )
82 ssin 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F )  <-> 
( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F ) )
8381, 82sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F
) )
84 elin 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F ) )
85 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8611, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
87863ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8887ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8975ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  Fun  F )
9089, 76jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( Fun  F  /\  ( `' F " x )  C_  dom  F ) )
9159ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  Fun  F )
9291ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  Fun  F )
93473ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
9493ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  dom  F  =  Y )
9594eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  Y ) )
9695biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  dom  F )
97 fvimacnv 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9892, 96, 97syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9998biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  y  e.  ( `' F " x ) )
100 funfvima2 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
10190, 99, 100sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) )
102101ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
103 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
104 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  <->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
105103, 104imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
106102, 105syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  =  z  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z  ->  (
z  e.  x  -> 
z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
10888, 107sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  ( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
109108com23 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  e.  ran  F  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
110109impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F )  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
11184, 110syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
112111ssrdv 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  ( F "
( `' F "
x ) ) )
11383, 112eqssd 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  =  ( x  i^i  ran  F ) )
114 filin 20861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
1151143exp 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( ran 
F  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
116115com23 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ran  F  e.  L  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
1171163ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
118117imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L )
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
120113, 119eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L )
121120exp32 609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) )
122 imaeq2 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
123122sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
124122eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  e.  L  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  e.  L ) )
125124imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L )  <-> 
( t  C_  X  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L ) ) )
126123, 125imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) ) )
127121, 126syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
128127rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) ) ) )
12973, 128syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
130129imp44 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  e.  L
)
131 simprr 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
132 simprlr 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  C_  t
)
133 filss 20860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( F " s
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  ( F " s )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13470, 130, 131, 132, 133syl13anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp44 617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
136135rexlimdv 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137136com23 82 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
138137impd 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
13969, 138impbid 194 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
1402adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
141 rnelfmlem 20959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
142 simpl3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
143 elfm 20954 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  L  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
144140, 141, 142, 143syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
145139, 144bitr4d 260 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
146145eqrdv 2420 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
1478adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
148 fnfvelrn 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
149147, 141, 148syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
150146, 149eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
151150ex 436 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) ) )
15234, 151impbid 194 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852   "cima 4854   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   Filcfil 20852    FilMap cfm 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-fil 20853  df-fm 20945
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