HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnbra Structured version   Unicode version

Theorem rnbra 27745
Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rnbra  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )

Proof of Theorem rnbra
Dummy variables  x  y  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 27695 . . . 4  |-  ( t  e.  LinFn  ->  ( t  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
21pm5.32i 641 . . 3  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  t  e.  ConFn )  <->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
3 elin 3649 . . 3  |-  ( t  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( t  e.  LinFn  /\  t  e.  ConFn ) )
4 ax-hilex 26637 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
54mptex 6147 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  |->  ( y 
.ih  x ) )  e.  _V
6 df-bra 27488 . . . . . 6  |-  bra  =  ( x  e.  ~H  |->  ( y  e.  ~H  |->  ( y  .ih  x
) ) )
75, 6fnmpti 5720 . . . . 5  |-  bra  Fn  ~H
8 fvelrnb 5924 . . . . 5  |-  ( bra 
Fn  ~H  ->  ( t  e.  ran  bra  <->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t )
10 bralnfn 27586 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( bra `  x )  e. 
LinFn )
11 brabn 27744 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR )
1210, 11jca 534 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( bra `  x
)  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR ) )
13 eleq1 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( bra `  x
)  e.  LinFn  <->  t  e.  LinFn
) )
14 fveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  =  (
normfn `  t ) )
1514eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( normfn `  ( bra `  x ) )  e.  RR  <->  ( normfn `  t
)  e.  RR ) )
1613, 15anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( ( bra `  x
)  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR ) 
<->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) ) )
1712, 16syl5ibcom 223 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( bra `  x
)  =  t  -> 
( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) ) )
1817rexlimiv 2911 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  ( bra `  x )  =  t  ->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
19 riesz1 27703 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 t )  e.  RR  <->  E. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x ) ) )
2019biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  E. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( t `  y )  =  ( y  .ih  x ) )
21 braval 27582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x ) )
22 eqtr3 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x )  /\  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x ) )  -> 
( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) )
2322ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  (
( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  -> 
( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
2524ralimdva 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
2625adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
27 brafn 27585 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( bra `  x ) : ~H --> CC )
28 lnfnf 27522 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  LinFn  ->  t : ~H
--> CC )
2928adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  t : ~H --> CC )
30 ffn 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( bra `  x ) : ~H --> CC  ->  ( bra `  x )  Fn  ~H )
31 ffn 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( t : ~H --> CC  ->  t  Fn  ~H )
32 eqfnfv 5987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( bra `  x
)  Fn  ~H  /\  t  Fn  ~H )  ->  ( ( bra `  x
)  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
3330, 31, 32syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( bra `  x
) : ~H --> CC  /\  t : ~H --> CC )  ->  ( ( bra `  x )  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
3427, 29, 33syl2anr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( bra `  x
)  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
3526, 34sylibrd 237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  -> 
( bra `  x
)  =  t ) )
3635reximdva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t ) )
3720, 36mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t )
3818, 37impbii 190 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ~H  ( bra `  x )  =  t  <->  ( t  e. 
LinFn  /\  ( normfn `  t
)  e.  RR ) )
399, 38bitri 252 . . 3  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
402, 3, 393bitr4ri 281 . 2  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  t  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
4140eqriv 2418 1  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    |-> cmpt 4479   ran crn 4850    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   ~Hchil 26557    .ih csp 26560   normfncnmf 26589   ConFnccnfn 26591   LinFnclf 26592   bracbr 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26637  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvmulass 26645  ax-hvdistr1 26646  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his1 26720  ax-his2 26721  ax-his3 26722  ax-his4 26723  ax-hcompl 26840
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-lm 20231  df-t1 20316  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cfil 22211  df-cau 22212  df-cmet 22213  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-subgo 26015  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-dip 26322  df-ssp 26346  df-ph 26439  df-cbn 26490  df-hnorm 26606  df-hba 26607  df-hvsub 26609  df-hlim 26610  df-hcau 26611  df-sh 26845  df-ch 26859  df-oc 26890  df-ch0 26891  df-nmfn 27483  df-nlfn 27484  df-cnfn 27485  df-lnfn 27486  df-bra 27488
This theorem is referenced by:  bra11  27746  cnvbraval  27748
  Copyright terms: Public domain W3C validator