HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnbra Structured version   Unicode version

Theorem rnbra 26799
Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rnbra  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )

Proof of Theorem rnbra
Dummy variables  x  y  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 26749 . . . 4  |-  ( t  e.  LinFn  ->  ( t  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
21pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  t  e.  ConFn )  <->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
3 elin 3687 . . 3  |-  ( t  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( t  e.  LinFn  /\  t  e.  ConFn ) )
4 ax-hilex 25689 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  _V
54mptex 6132 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  |->  ( y 
.ih  x ) )  e.  _V
6 df-bra 26542 . . . . . 6  |-  bra  =  ( x  e.  ~H  |->  ( y  e.  ~H  |->  ( y  .ih  x
) ) )
75, 6fnmpti 5709 . . . . 5  |-  bra  Fn  ~H
8 fvelrnb 5915 . . . . 5  |-  ( bra 
Fn  ~H  ->  ( t  e.  ran  bra  <->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t )
10 bralnfn 26640 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( bra `  x )  e. 
LinFn )
11 brabn 26798 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR )
1210, 11jca 532 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( bra `  x
)  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR ) )
13 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( bra `  x
)  e.  LinFn  <->  t  e.  LinFn
) )
14 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  =  (
normfn `  t ) )
1514eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( normfn `  ( bra `  x ) )  e.  RR  <->  ( normfn `  t
)  e.  RR ) )
1613, 15anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( bra `  x )  =  t  ->  (
( ( bra `  x
)  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 ( bra `  x
) )  e.  RR ) 
<->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) ) )
1712, 16syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( bra `  x
)  =  t  -> 
( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) ) )
1817rexlimiv 2949 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ~H  ( bra `  x )  =  t  ->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
19 riesz1 26757 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 t )  e.  RR  <->  E. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x ) ) )
2019biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  E. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( t `  y )  =  ( y  .ih  x ) )
21 braval 26636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x ) )
22 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x )  /\  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x ) )  -> 
( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  (
( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  -> 
( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( t `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
2524ralimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
27 brafn 26639 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( bra `  x ) : ~H --> CC )
28 lnfnf 26576 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  LinFn  ->  t : ~H
--> CC )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  t : ~H --> CC )
30 ffn 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( bra `  x ) : ~H --> CC  ->  ( bra `  x )  Fn  ~H )
31 ffn 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( t : ~H --> CC  ->  t  Fn  ~H )
32 eqfnfv 5976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( bra `  x
)  Fn  ~H  /\  t  Fn  ~H )  ->  ( ( bra `  x
)  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
3330, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( bra `  x
) : ~H --> CC  /\  t : ~H --> CC )  ->  ( ( bra `  x )  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x
) `  y )  =  ( t `  y ) ) )
3427, 29, 33syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( bra `  x
)  =  t  <->  A. y  e.  ~H  ( ( bra `  x ) `  y
)  =  ( t `
 y ) ) )
3526, 34sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( t `  y
)  =  ( y 
.ih  x )  -> 
( bra `  x
)  =  t ) )
3635reximdva 2938 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
t `  y )  =  ( y  .ih  x )  ->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t ) )
3720, 36mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `
 t )  e.  RR )  ->  E. x  e.  ~H  ( bra `  x
)  =  t )
3818, 37impbii 188 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ~H  ( bra `  x )  =  t  <->  ( t  e. 
LinFn  /\  ( normfn `  t
)  e.  RR ) )
399, 38bitri 249 . . 3  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  ( t  e.  LinFn  /\  ( normfn `  t )  e.  RR ) )
402, 3, 393bitr4ri 278 . 2  |-  ( t  e.  ran  bra  <->  t  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
4140eqriv 2463 1  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   ~Hchil 25609    .ih csp 25612   normfncnmf 25641   ConFnccnfn 25643   LinFnclf 25644   bracbr 25646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hvcom 25691  ax-hvass 25692  ax-hv0cl 25693  ax-hvaddid 25694  ax-hfvmul 25695  ax-hvmulid 25696  ax-hvmulass 25697  ax-hvdistr1 25698  ax-hvdistr2 25699  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his1 25772  ax-his2 25773  ax-his3 25774  ax-his4 25775  ax-hcompl 25892
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-lm 19536  df-t1 19621  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-subgo 25077  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-vs 25265  df-nmcv 25266  df-ims 25267  df-dip 25384  df-ssp 25408  df-ph 25501  df-cbn 25552  df-hnorm 25658  df-hba 25659  df-hvsub 25661  df-hlim 25662  df-hcau 25663  df-sh 25897  df-ch 25912  df-oc 25943  df-ch0 25944  df-nmfn 26537  df-nlfn 26538  df-cnfn 26539  df-lnfn 26540  df-bra 26542
This theorem is referenced by:  bra11  26800  cnvbraval  26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator