Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnbra Structured version   Unicode version

Theorem rnbra 27745
 Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rnbra

Proof of Theorem rnbra
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 27695 . . . 4
21pm5.32i 641 . . 3
3 elin 3649 . . 3
4 ax-hilex 26637 . . . . . . 7
54mptex 6147 . . . . . 6
6 df-bra 27488 . . . . . 6
75, 6fnmpti 5720 . . . . 5
8 fvelrnb 5924 . . . . 5
97, 8ax-mp 5 . . . 4
10 bralnfn 27586 . . . . . . . 8
11 brabn 27744 . . . . . . . 8
1210, 11jca 534 . . . . . . 7
13 eleq1 2494 . . . . . . . 8
14 fveq2 5877 . . . . . . . . 9
1514eleq1d 2491 . . . . . . . 8
1613, 15anbi12d 715 . . . . . . 7
1712, 16syl5ibcom 223 . . . . . 6
1817rexlimiv 2911 . . . . 5
19 riesz1 27703 . . . . . . 7
2019biimpa 486 . . . . . 6
21 braval 27582 . . . . . . . . . . 11
22 eqtr3 2450 . . . . . . . . . . . 12
2322ex 435 . . . . . . . . . . 11
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10
2524ralimdva 2833 . . . . . . . . 9
2625adantl 467 . . . . . . . 8
27 brafn 27585 . . . . . . . . 9
28 lnfnf 27522 . . . . . . . . . 10
2928adantr 466 . . . . . . . . 9
30 ffn 5742 . . . . . . . . . 10
31 ffn 5742 . . . . . . . . . 10
32 eqfnfv 5987 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 32syl2an 479 . . . . . . . . 9
3427, 29, 33syl2anr 480 . . . . . . . 8
3526, 34sylibrd 237 . . . . . . 7
3635reximdva 2900 . . . . . 6
3720, 36mpd 15 . . . . 5
3818, 37impbii 190 . . . 4
399, 38bitri 252 . . 3
402, 3, 393bitr4ri 281 . 2
4140eqriv 2418 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776   cin 3435   cmpt 4479   crn 4850   wfn 5592  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301  cc 9537  cr 9538  chil 26557   csp 26560  cnmf 26589  ccnfn 26591  clf 26592  cbr 26594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26637  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvmulass 26645  ax-hvdistr1 26646  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his1 26720  ax-his2 26721  ax-his3 26722  ax-his4 26723  ax-hcompl 26840 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-lm 20231  df-t1 20316  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cfil 22211  df-cau 22212  df-cmet 22213  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-subgo 26015  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-dip 26322  df-ssp 26346  df-ph 26439  df-cbn 26490  df-hnorm 26606  df-hba 26607  df-hvsub 26609  df-hlim 26610  df-hcau 26611  df-sh 26845  df-ch 26859  df-oc 26890  df-ch0 26891  df-nmfn 27483  df-nlfn 27484  df-cnfn 27485  df-lnfn 27486  df-bra 27488 This theorem is referenced by:  bra11  27746  cnvbraval  27748
 Copyright terms: Public domain W3C validator