Theorem rnblssm 9128

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
rnblssm	|- ((D e. Met /\ B e. ran ( ball ` D)) -> B C_ X)

Proof of Theorem rnblssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	blrn3 9124	. . 3 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ B = (x( ball ` D)y))))
3		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ x e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ B = (x( ball ` D)y)) -> B = (x( ball ` D)y))
4	1	blssm 9127	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> (x( ball ` D)y) C_ X)
5	4	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ x e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ B = (x( ball ` D)y)) -> (x( ball ` D)y) C_ X)
6	3, 5	eqsstrd 2651	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ x e. X) /\ (y e. RR /\ 0 < y)) /\ B = (x( ball ` D)y)) -> B C_ X)
7	6	exp53 419	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (x e. X -> (y e. RR -> (0 < y -> (B = (x( ball ` D)y) -> B C_ X)))))
8	7	imp3a 388	. . . . 5 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. RR) -> (0 < y -> (B = (x( ball ` D)y) -> B C_ X))))
9	8	imp4a 391	. . . 4 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. RR) -> ((0 < y /\ B = (x( ball ` D)y)) -> B C_ X)))
10	9	r19.23advv 2218	. . 3 |- (D e. Met -> (E.x e. X E.y e. RR (0 < y /\ B = (x( ball ` D)y)) -> B C_ X))
11	2, 10	sylbid 220	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) -> B C_ X))
12	11	imp 377	1 |- ((D e. Met /\ B e. ran ( ball ` D)) -> B C_ X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653  Metcme 9066   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  blssopn 9144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain