Theorem rn0 5086

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	|- ran (/) = (/)

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5048	. 2 |- dom (/) = (/)
2		dm0rn0 5051	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> ran (/) = (/) )
3	1, 2	mpbi 212	1 |- ran (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1444   (/)c0 3731   dom cdm 4834   ran crn 4835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-cnv 4842  df-dm 4844  df-rn 4845

This theorem is referenced by:  ima0  5183  0ima  5184  rnxpid  5270  xpima  5279  f0  5764  2ndval  6796  frxp  6906  oarec  7263  fodomr  7723  dfac5lem3  8556  itunitc  8851  0rest  15328  arwval  15938  pmtrfrn  17099  psgnsn  17161  oppglsm  17294  mpfrcl  18741  ply1frcl  18907  nbgra0edg  25160  uvtx01vtx  25220  rusgra0edg  25683  0ngrp  25939  bafval  26223  locfinref  28668  esumrnmpt2  28889  sibf0  29167  mvtval  30138  mrsubrn  30151  mrsub0  30154  mrsubf  30155  mrsubccat  30156  mrsubcn  30157  mrsubco  30159  mrsubvrs  30160  elmsubrn  30166  msubrn  30167  msubf  30170  mstaval  30182  mzpmfp  35589  dmnonrel  36196  imanonrel  36199  conrel1d  36255  sge00  38218  0grsubgr  39350  0uhgrsubgr  39351