Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmym1 Structured version   Unicode version

Theorem rmym1 30475
Description: Subtraction of 1 formula for Y sequence. Part 2 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmym1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )

Proof of Theorem rmym1
StepHypRef Expression
1 zcn 10865 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
3 ax-1cn 9546 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 negsub 9863 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
1 )  =  ( N  -  1 ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  +  -u 1 )  =  ( N  - 
1 ) )
65eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  =  ( N  +  -u 1 ) )
76oveq2d 6298 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  -u
1 ) ) )
8 neg1z 10895 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
9 rmyadd 30471 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1
) ) ) )
108, 9mp3an3 1313 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1
) ) ) )
11 1z 10890 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
12 rmxneg 30464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
14 rmx1 30466 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
1513, 14eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  A )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  A )
1716oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  A ) )
18 rmyneg 30468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u 1 )  = 
-u ( A Yrm  1 ) )
1911, 18mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u ( A Yrm  1 ) )
20 rmy1 30470 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
2120negeqd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -u ( A Yrm  1 )  =  -u
1 )
2219, 21eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u
1 )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u 1 )  = 
-u 1 )
2423oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  -u 1
) )
25 frmx 30453 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2625fovcl 6389 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2726nn0cnd 10850 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
28 neg1cn 10635 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
29 mulcom 9574 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( A Xrm  N ) ) )
3027, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( A Xrm  N ) ) )
3127mulm1d 10004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  x.  ( A Xrm  N ) )  =  -u ( A Xrm  N ) )
3224, 30, 313eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  -u ( A Xrm  N ) )
3317, 32oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1
) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  -u ( A Xrm  N ) ) )
34 frmy 30454 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3534fovcl 6389 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
3635zcnd 10963 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
37 eluzelre 11088 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
3837recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
4036, 39mulcld 9612 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  e.  CC )
4140, 27negsubd 9932 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  + 
-u ( A Xrm  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm 
N ) ) )
4233, 41eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1
) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm 
N ) ) )
437, 10, 423eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801   -ucneg 9802   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   Xrm crmx 30440   Yrm crmy 30441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-numer 14123  df-denom 14124  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-squarenn 30381  df-pell1qr 30382  df-pell14qr 30383  df-pell1234qr 30384  df-pellfund 30385  df-rmx 30442  df-rmy 30443
This theorem is referenced by:  rmyluc  30477  jm2.24nn  30501
  Copyright terms: Public domain W3C validator