Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyluc Structured version   Unicode version

Theorem rmyluc 29281
Description: The Y sequence is a Lucas sequence, definable via this second-order recurrence with rmy0 29273 and rmy1 29274. Part 3 of equation 2.12 of [JonesMatijasevic] p. 695. JonesMatijasevic uses this theorem to redefine the X and Y sequences to have domain  ( ZZ  X.  ZZ ), which simplifies some later theorems. It may shorten the derivation to use this as our initial definition. Incidentally, the X sequence satisfies the exact same recurrence. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyluc  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  N )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmyluc
StepHypRef Expression
1 peano2z 10689 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2 frmy 29258 . . . . 5  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
32fovcl 6198 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
41, 3sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  ZZ )
54zcnd 10751 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
6 2cn 10395 . . . 4  |-  2  e.  CC
72fovcl 6198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
87zcnd 10751 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
9 eluzelre 10874 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
109recnd 9415 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
128, 11mulcld 9409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  e.  CC )
13 mulcl 9369 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A Yrm  N )  x.  A )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) )  e.  CC )
146, 12, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) )  e.  CC )
15 peano2zm 10691 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
162fovcl 6198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
1715, 16sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
1817zcnd 10751 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1914, 18subcld 9722 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  (
( A Yrm  N )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
20 rmyp1 29277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  ( A Xrm  N ) ) )
21 rmym1 29279 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
2220, 21oveq12d 6112 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) ) )
23 frmx 29257 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2423fovcl 6198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10641 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
2612, 25, 12ppncand 9762 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A
)  +  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) ) )
2714, 18npcand 9726 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) ) )
28122timesd 10570 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  A ) ) )
2927, 28eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  +  ( ( A Yrm  N )  x.  A ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3022, 26, 293eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
315, 19, 18, 30addcan2ad 9578 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  N )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    - cmin 9598   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   Xrm crmx 29244   Yrm crmy 29245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-dvds 13539  df-gcd 13694  df-numer 13816  df-denom 13817  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-squarenn 29185  df-pell1qr 29186  df-pell14qr 29187  df-pell1234qr 29188  df-pellfund 29189  df-rmx 29246  df-rmy 29247
This theorem is referenced by:  rmyluc2  29282  jm2.18  29340  jm2.15nn0  29355  jm2.16nn0  29356
  Copyright terms: Public domain W3C validator