Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyabs Structured version   Unicode version

Theorem rmyabs 29436
Description: Yrm commutes with  abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyabs  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  B ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  B ) ) )

Proof of Theorem rmyabs
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmy 29390 . . . 4  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
21fovcl 6292 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  a )  e.  ZZ )
32zred 10845 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  a )  e.  RR )
4 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ  /\  0  <_ 
a )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5 elnn0z 10757 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN0  <->  ( a  e.  ZZ  /\  0  <_ 
a ) )
65biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  0  <_  a )  -> 
a  e.  NN0 )
763adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ  /\  0  <_ 
a )  ->  a  e.  NN0 )
8 rmxypos 29425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_ 
( A Yrm  a ) ) )
94, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ  /\  0  <_ 
a )  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_ 
( A Yrm  a ) ) )
109simprd 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ  /\  0  <_ 
a )  ->  0  <_  ( A Yrm  a ) )
11 rmyneg 29404 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u b )  =  -u ( A Yrm  b ) )
12 oveq2 6195 . 2  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
13 oveq2 6195 . 2  |-  ( a  =  -u b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  -u b ) )
14 oveq2 6195 . 2  |-  ( a  =  B  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  B ) )
15 oveq2 6195 . 2  |-  ( a  =  ( abs `  B
)  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( abs `  B ) ) )
163, 10, 11, 12, 13, 14, 15oddcomabszz 29420 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  B ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4387   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   0cc0 9380    < clt 9516    <_ cle 9517   -ucneg 9694   2c2 10469   NN0cn0 10677   ZZcz 10744   ZZ>=cuz 10959   abscabs 12822   Xrm crmx 29376   Yrm crmy 29377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-omul 7022  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-fi 7759  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-acn 8210  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-ioo 11402  df-ioc 11403  df-ico 11404  df-icc 11405  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-fl 11740  df-mod 11807  df-seq 11905  df-exp 11964  df-fac 12150  df-bc 12177  df-hash 12202  df-shft 12655  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-limsup 13048  df-clim 13065  df-rlim 13066  df-sum 13263  df-ef 13452  df-sin 13454  df-cos 13455  df-pi 13457  df-dvds 13635  df-gcd 13790  df-numer 13912  df-denom 13913  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-hom 14361  df-cco 14362  df-rest 14460  df-topn 14461  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-topgen 14481  df-pt 14482  df-prds 14485  df-xrs 14539  df-qtop 14544  df-imas 14545  df-xps 14547  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-mulg 15647  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-fbas 17920  df-fg 17921  df-cnfld 17925  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-topsp 18620  df-cld 18736  df-ntr 18737  df-cls 18738  df-nei 18815  df-lp 18853  df-perf 18854  df-cn 18944  df-cnp 18945  df-haus 19032  df-tx 19248  df-hmeo 19441  df-fil 19532  df-fm 19624  df-flim 19625  df-flf 19626  df-xms 20008  df-ms 20009  df-tms 20010  df-cncf 20567  df-limc 21454  df-dv 21455  df-log 22121  df-squarenn 29317  df-pell1qr 29318  df-pell14qr 29319  df-pell1234qr 29320  df-pellfund 29321  df-rmx 29378  df-rmy 29379
This theorem is referenced by:  jm2.19  29477  jm2.26lem3  29485
  Copyright terms: Public domain W3C validator