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Theorem rmxypos 29137
Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  0 ) )
21breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  0 ) ) )
3 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
43breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
52, 4anbi12d 705 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  b ) )
87breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  b ) ) )
9 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
109breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  b ) ) )
118, 10anbi12d 705 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) ) )
13 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
1413breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
1615breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1714, 16anbi12d 705 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
2019breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm 
N ) ) )
21 oveq2 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
2221breq2d 4294 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
2320, 22anbi12d 705 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
25 0lt1 9852 . . . . 5  |-  0  <  1
26 rmx0 29113 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  0 )  =  1 )
2725, 26syl5breqr 4318 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( A Xrm  0 ) )
28 0le0 10401 . . . . 5  |-  0  <_  0
29 rmy0 29117 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3028, 29syl5breqr 4318 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
3127, 30jca 529 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
32 simp2 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
33 nn0z 10659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
34333ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
35 frmx 29101 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3635fovcl 6186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3732, 34, 36syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3837nn0red 10627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
39 eluzelre 10861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
40393ad2ant2 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  RR )
4138, 40remulcld 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Xrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
42 rmspecpos 29104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
4342rpred 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
44433ad2ant2 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
45 frmy 29102 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4645fovcl 6186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4732, 34, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4847zred 10737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
4944, 48remulcld 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )
50 simp3l 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
51 2nn 10469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
52 uznnssnn 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
5453sseli 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
5554nngt0d 10355 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  A )
56553ad2ant2 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  A )
5738, 40, 50, 56mulgt0d 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A ) )
5842rpge0d 11021 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
59583ad2ant2 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
60 simp3r 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
6144, 48, 59, 60mulge0d 9906 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) )
62 addgtge0 9817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  e.  RR  /\  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )  /\  ( 0  < 
( ( A Xrm  b )  x.  A )  /\  0  <_  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6341, 49, 57, 61, 62syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
64 rmxp1 29120 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6532, 34, 64syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6663, 65breqtrrd 4308 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
6748, 40remulcld 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
68 2nn0 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
69 eluznn0 10914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
7068, 69mpan 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
7170nn0ge0d 10629 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
72713ad2ant2 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  A )
7348, 40, 60, 72mulge0d 9906 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )
7437nn0ge0d 10629 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Xrm  b ) )
7567, 38, 73, 74addge0d 9905 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
76 rmyp1 29121 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7732, 34, 76syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7875, 77breqtrrd 4308 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
7966, 78jca 529 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
80793exp 1181 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) )  ->  ( 0  < 
( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
8180a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10728 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  N )  /\  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) ) )
8382impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1757    C_ wss 3318   class class class wbr 4282   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    < clt 9408    <_ cle 9409    - cmin 9585   NNcn 10312   2c2 10361   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ^cexp 11851   Xrm crmx 29088   Yrm crmy 29089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-addf 9351  ax-mulf 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-supp 6682  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-omul 6915  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fsupp 7611  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-acn 8102  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-ioc 11295  df-ico 11296  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-fl 11628  df-mod 11695  df-seq 11793  df-exp 11852  df-fac 12038  df-bc 12065  df-hash 12090  df-shft 12542  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-limsup 12935  df-clim 12952  df-rlim 12953  df-sum 13150  df-ef 13338  df-sin 13340  df-cos 13341  df-pi 13343  df-dvds 13521  df-gcd 13676  df-numer 13798  df-denom 13799  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-ress 14166  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-hom 14247  df-cco 14248  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-gsum 14366  df-topgen 14367  df-pt 14368  df-prds 14371  df-xrs 14425  df-qtop 14430  df-imas 14431  df-xps 14433  df-mre 14509  df-mrc 14510  df-acs 14512  df-mnd 15400  df-submnd 15450  df-mulg 15530  df-cntz 15817  df-cmn 16261  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lp 18584  df-perf 18585  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-haus 18763  df-tx 18979  df-hmeo 19172  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-xms 19739  df-ms 19740  df-tms 19741  df-cncf 20298  df-limc 21185  df-dv 21186  df-log 21895  df-squarenn 29029  df-pell1qr 29030  df-pell14qr 29031  df-pell1234qr 29032  df-pellfund 29033  df-rmx 29090  df-rmy 29091
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  29138  ltrmxnn0  29139  rmxnn  29141  rmynn0  29147  rmyabs  29148  jm2.24nn  29149  jm2.17b  29151
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