Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypos Structured version   Unicode version

Theorem rmxypos 30781
Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  0 ) )
21breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  0 ) ) )
3 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
43breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
52, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  b ) )
87breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  b ) ) )
9 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
109breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  b ) ) )
118, 10anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) ) )
13 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
1413breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
1615breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
2019breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm 
N ) ) )
21 oveq2 6302 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
2221breq2d 4464 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
2320, 22anbi12d 710 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
25 0lt1 10085 . . . . 5  |-  0  <  1
26 rmx0 30757 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  0 )  =  1 )
2725, 26syl5breqr 4488 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( A Xrm  0 ) )
28 0le0 10635 . . . . 5  |-  0  <_  0
29 rmy0 30761 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3028, 29syl5breqr 4488 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
3127, 30jca 532 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
32 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
33 nn0z 10897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
34333ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
35 frmx 30745 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3635fovcl 6401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3732, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3837nn0red 10863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
39 eluzelre 11102 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
40393ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  RR )
4138, 40remulcld 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Xrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
42 rmspecpos 30748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
4342rpred 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
44433ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
45 frmy 30746 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4645fovcl 6401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4732, 34, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4847zred 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
4944, 48remulcld 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )
50 simp3l 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
51 2nn 10703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
52 uznnssnn 11138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
5453sseli 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
5554nngt0d 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  A )
56553ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  A )
5738, 40, 50, 56mulgt0d 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A ) )
5842rpge0d 11270 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
59583ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
60 simp3r 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
6144, 48, 59, 60mulge0d 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) )
62 addgtge0 10050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  e.  RR  /\  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )  /\  ( 0  < 
( ( A Xrm  b )  x.  A )  /\  0  <_  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6341, 49, 57, 61, 62syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
64 rmxp1 30764 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6532, 34, 64syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6663, 65breqtrrd 4478 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
6748, 40remulcld 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
68 2nn0 10822 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
69 eluznn0 11161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
7068, 69mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
7170nn0ge0d 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
72713ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  A )
7348, 40, 60, 72mulge0d 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )
7437nn0ge0d 10865 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Xrm  b ) )
7567, 38, 73, 74addge0d 10138 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
76 rmyp1 30765 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7732, 34, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7875, 77breqtrrd 4478 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
7966, 78jca 532 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
80793exp 1195 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) )  ->  ( 0  < 
( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
8180a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10967 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  N )  /\  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) ) )
8382impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    x. cmul 9507    < clt 9638    <_ cle 9639    - cmin 9815   NNcn 10546   2c2 10595   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   ^cexp 12144   Xrm crmx 30732   Yrm crmy 30733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-numer 14139  df-denom 14140  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-squarenn 30673  df-pell1qr 30674  df-pell14qr 30675  df-pell1234qr 30676  df-pellfund 30677  df-rmx 30734  df-rmy 30735
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  30782  ltrmxnn0  30783  rmxnn  30785  rmynn0  30791  rmyabs  30792  jm2.24nn  30793  jm2.17b  30795
  Copyright terms: Public domain W3C validator