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Theorem rmxyneg 31098
Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain  NN0 or  ZZ; we use  ZZ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyneg  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  -u N )  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  -u N )  = 
-u ( A Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem rmxyneg
StepHypRef Expression
1 znegcl 10895 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
2 rmxyval 31093 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  -u N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  -u N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ -u N
) )
31, 2sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  -u N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  -u N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ -u N
) )
4 rmxyval 31093 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
54oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  /  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( 1  / 
( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
6 rmbaserp 31097 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
76rpcnd 11261 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
96rpne0d 11264 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =/=  0
)
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =/=  0 )
11 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
128, 10, 11expclzd 12300 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N )  e.  CC )
134, 12eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  CC )
14 frmx 31091 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1514fovcl 6380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615nn0cnd 10850 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
17 rmspecnonsq 31085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
1817eldifad 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
1918nncnd 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
2019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
2120sqrtcld 13353 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
22 frmy 31092 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2322fovcl 6380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2423zcnd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
2524negcld 9909 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  -u ( A Yrm 
N )  e.  CC )
2621, 25mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) )  e.  CC )
2716, 26addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  e.  CC )
288, 10, 11expne0d 12301 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N )  =/=  0 )
294, 28eqnetrd 2747 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =/=  0 )
3021, 24mulneg2d 10006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) )  = 
-u ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
3130oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  +  -u (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
3221, 24mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
3316, 32negsubd 9928 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  + 
-u ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  -  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
3431, 33eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  -  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
3534oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  x.  (
( A Xrm  N )  -  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
36 subsq 12260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  -  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
3716, 32, 36syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  x.  (
( A Xrm  N )  -  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
3821, 24sqmuld 12307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
3920sqsqrtd 13355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )
4039oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
4138, 40eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
4241oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) ) )
43 rmxynorm 31096 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 )
4442, 43eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
2 ) )  =  1 )
4535, 37, 443eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm  N ) ) ) )  =  1 )
4613, 27, 29, 45mvllmuld 10372 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( 1  / 
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )
478, 10, 11expnegd 12302 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ -u N
)  =  ( 1  /  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
485, 46, 473eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ -u N
)  =  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) ) )
493, 48eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  -u N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  -u N ) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm  N ) ) ) )
50 rmspecsqrtnq 31084 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
5150adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
52 nn0ssq 11191 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
5314fovcl 6380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u N )  e.  NN0 )
541, 53sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u N )  e.  NN0 )
5552, 54sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u N )  e.  QQ )
56 zssq 11190 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
5722fovcl 6380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  ZZ )
581, 57sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  ZZ )
5956, 58sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  QQ )
6052, 15sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  QQ )
6156, 23sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
62 qnegcl 11200 . . . 4  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  QQ  -> 
-u ( A Yrm  N )  e.  QQ )
6361, 62syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  -u ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
64 qirropth 31086 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  -u N
)  e.  QQ  /\  ( A Yrm  -u N )  e.  QQ )  /\  (
( A Xrm  N )  e.  QQ  /\  -u ( A Yrm 
N )  e.  QQ ) )  ->  (
( ( A Xrm  -u N
)  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  -u N
) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  -u N
)  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  -u N )  =  -u ( A Yrm  N ) ) ) )
6551, 55, 59, 60, 63, 64syl122anc 1235 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  -u N
)  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  -u N
) ) )  =  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  -u ( A Yrm 
N ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  -u N
)  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  -u N )  =  -u ( A Yrm  N ) ) ) )
6649, 65mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  -u N )  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  -u N )  = 
-u ( A Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   QQcq 11183   ^cexp 12151   sqrcsqrt 13151  ◻NNcsquarenn 31014   Xrm crmx 31078   Yrm crmy 31079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-numer 14355  df-denom 14356  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-squarenn 31019  df-pell1qr 31020  df-pell14qr 31021  df-pell1234qr 31022  df-pellfund 31023  df-rmx 31080  df-rmy 31081
This theorem is referenced by:  rmxneg  31102  rmyneg  31106
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