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Theorem rmxyadd 31096
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 31102 and rmyadd 31106 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 zaddcl 10900 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
323adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
4 rmxyval 31090 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
51, 3, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
6 eluzelz 11091 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
763ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
87zcnd 10966 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
9 zq 11189 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
10 qsqcl 12221 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
117, 9, 103syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
12 zssq 11190 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  QQ
13 1z 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
1412, 13sselii 3486 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  QQ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  QQ )
16 qsubcl 11202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ )
1711, 15, 16syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ )
18 qcn 11197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
2019sqrtcld 13350 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
218, 20addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
22 rmbaserp 31094 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
2322rpne0d 11264 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =/=  0
)
24233ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =/=  0 )
25 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
26 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
27 expaddz 12192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
( M  +  N
) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
29 frmx 31088 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
3130, 1, 25fovrnd 6420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10850 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  CC )
33 frmy 31089 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
3534, 1, 25fovrnd 6420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3635zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
3720, 36mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
3830, 1, 26fovrnd 6420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10850 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
4034, 1, 26fovrnd 6420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4140zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4220, 41mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
4332, 37, 39, 42muladdd 10010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) ) )
44 rmxyval 31090 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
451, 25, 44syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
46 rmxyval 31090 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
471, 26, 46syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
4845, 47oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M
)  x.  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
5020, 41, 20, 36mul4d 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )
5119msqsqrtd 13353 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
5241, 36mulcomd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
5351, 52oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5450, 53eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5554oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
5632, 20, 41mul12d 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5739, 20, 36mul12d 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
5856, 57oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
5932, 41mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
6039, 36mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
6120, 59, 60adddid 9609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6259, 60addcomd 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6339, 36mulcomd 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6463oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6562, 64eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6665oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )
6758, 61, 663eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
6855, 67oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
6928, 49, 683eqtr2d 2501 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
705, 69eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
71 rmspecsqrtnq 31081 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
72713ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
73 nn0ssq 11191 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
7430, 1, 3fovrnd 6420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  NN0 )
7573, 74sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7634, 1, 3fovrnd 6420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  ZZ )
7712, 76sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7873, 31sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  QQ )
7973, 38sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  QQ )
80 qmulcl 11201 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8178, 79, 80syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8212, 35sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  QQ )
8312, 40sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
84 qmulcl 11201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
8582, 83, 84syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
86 qmulcl 11201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ  /\  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
8717, 85, 86syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
88 qaddcl 11199 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
8981, 87, 88syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
90 qmulcl 11201 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
9182, 79, 90syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
92 qmulcl 11201 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
9378, 83, 92syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
94 qaddcl 11199 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
9591, 93, 94syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
96 qirropth 31083 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )  /\  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ ) )  -> 
( ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) ) )
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1235 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <->  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9870, 97mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   QQcq 11183   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   Xrm crmx 31075   Yrm crmy 31076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-numer 14352  df-denom 14353  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-squarenn 31016  df-pell1qr 31017  df-pell14qr 31018  df-pell1234qr 31019  df-pellfund 31020  df-rmx 31077  df-rmy 31078
This theorem is referenced by:  rmxadd  31102  rmyadd  31106
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