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Theorem rmxyadd 35733
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 35739 and rmyadd 35743 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 zaddcl 10979 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
323adant1 1024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
4 rmxyval 35727 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
51, 3, 4syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
6 eluzelz 11170 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
763ad2ant1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
87zcnd 11043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
9 zq 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
10 qsqcl 12347 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
12 zssq 11273 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  QQ
13 1z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
1412, 13sselii 3462 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  QQ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  QQ )
16 qsubcl 11285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ )
1711, 15, 16syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ )
18 qcn 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
2019sqrtcld 13492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
218, 20addcld 9664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
22 rmbaserp 35731 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
2322rpne0d 11348 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =/=  0
)
24233ad2ant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =/=  0 )
25 simp2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
26 simp3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
27 expaddz 12317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
( M  +  N
) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
29 frmx 35725 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
3130, 1, 25fovrnd 6453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10929 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  CC )
33 frmy 35726 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
3534, 1, 25fovrnd 6453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3635zcnd 11043 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
3720, 36mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
3830, 1, 26fovrnd 6453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10929 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
4034, 1, 26fovrnd 6453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4140zcnd 11043 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4220, 41mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
4332, 37, 39, 42muladdd 10078 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) ) )
44 rmxyval 35727 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
451, 25, 44syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
46 rmxyval 35727 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
471, 26, 46syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
4845, 47oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M
)  x.  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
5020, 41, 20, 36mul4d 9847 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )
5119msqsqrtd 13495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
5241, 36mulcomd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
5351, 52oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5450, 53eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5554oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
5632, 20, 41mul12d 9844 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5739, 20, 36mul12d 9844 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
5856, 57oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
5932, 41mulcld 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
6039, 36mulcld 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
6120, 59, 60adddid 9669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6259, 60addcomd 9837 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6339, 36mulcomd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6463oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6562, 64eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6665oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )
6758, 61, 663eqtr2d 2470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
6855, 67oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
6928, 49, 683eqtr2d 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
705, 69eqtrd 2464 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
71 rmspecsqrtnq 35718 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
72713ad2ant1 1027 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
73 nn0ssq 11274 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
7430, 1, 3fovrnd 6453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  NN0 )
7573, 74sseldi 3463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7634, 1, 3fovrnd 6453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  ZZ )
7712, 76sseldi 3463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7873, 31sseldi 3463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  QQ )
7973, 38sseldi 3463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  QQ )
80 qmulcl 11284 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8178, 79, 80syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8212, 35sseldi 3463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  QQ )
8312, 40sseldi 3463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
84 qmulcl 11284 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
8582, 83, 84syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
86 qmulcl 11284 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ  /\  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
8717, 85, 86syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
88 qaddcl 11282 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
8981, 87, 88syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
90 qmulcl 11284 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
9182, 79, 90syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
92 qmulcl 11284 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
9378, 83, 92syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
94 qaddcl 11282 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
9591, 93, 94syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
96 qirropth 35720 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )  /\  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ ) )  -> 
( ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) ) )
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1274 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <->  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9870, 97mpbid 214 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    \ cdif 3434    X. cxp 4849   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   QQcq 11266   ^cexp 12273   sqrcsqrt 13290   Xrm crmx 35712   Yrm crmy 35713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-squarenn 35650  df-pell1qr 35651  df-pell14qr 35652  df-pell1234qr 35653  df-pellfund 35654  df-rmx 35714  df-rmy 35715
This theorem is referenced by:  rmxadd  35739  rmyadd  35743
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