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Theorem rmxyadd 30312
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 30318 and rmyadd 30322 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 zaddcl 10892 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
323adant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
4 rmxyval 30306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
6 eluzelz 11080 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
763ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
87zcnd 10956 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
9 zq 11177 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
10 qsqcl 12194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
117, 9, 103syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
12 zssq 11178 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  QQ
13 1z 10883 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
1412, 13sselii 3494 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  QQ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  QQ )
16 qsubcl 11190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ )
1711, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ )
18 qcn 11185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
2019sqrcld 13217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
218, 20addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
22 rmbaserp 30310 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
2322rpne0d 11250 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =/=  0
)
24233ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =/=  0 )
25 simp2 992 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
26 simp3 993 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
27 expaddz 12165 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
( M  +  N
) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
29 frmx 30304 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
3130, 1, 25fovrnd 6422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  CC )
33 frmy 30305 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
3534, 1, 25fovrnd 6422 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3635zcnd 10956 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
3720, 36mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
3830, 1, 26fovrnd 6422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10843 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
4034, 1, 26fovrnd 6422 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4140zcnd 10956 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4220, 41mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
4332, 37, 39, 42muladdd 10003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) ) )
44 rmxyval 30306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
451, 25, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
46 rmxyval 30306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
471, 26, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
4845, 47oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M
)  x.  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
4943, 48eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
5020, 41, 20, 36mul4d 9780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )
5119msqsqrd 13220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
5241, 36mulcomd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
5351, 52oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5450, 53eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5554oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
5632, 20, 41mul12d 9777 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5739, 20, 36mul12d 9777 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
5856, 57oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
5932, 41mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
6039, 36mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
6120, 59, 60adddid 9609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6259, 60addcomd 9770 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6339, 36mulcomd 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6463oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6562, 64eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6665oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )
6758, 61, 663eqtr2d 2507 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
6855, 67oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
6928, 49, 683eqtr2d 2507 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
705, 69eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
71 rmspecsqrnq 30297 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
72713ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
73 nn0ssq 11179 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
7430, 1, 3fovrnd 6422 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  NN0 )
7573, 74sseldi 3495 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7634, 1, 3fovrnd 6422 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  ZZ )
7712, 76sseldi 3495 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
7873, 31sseldi 3495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  QQ )
7973, 38sseldi 3495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  QQ )
80 qmulcl 11189 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8212, 35sseldi 3495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  QQ )
8312, 40sseldi 3495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
84 qmulcl 11189 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
8582, 83, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
86 qmulcl 11189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ  /\  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
8717, 85, 86syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
88 qaddcl 11187 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
8981, 87, 88syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
90 qmulcl 11189 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
9182, 79, 90syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
92 qmulcl 11189 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
9378, 83, 92syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
94 qaddcl 11187 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
9591, 93, 94syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
96 qirropth 30299 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )  /\  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ ) )  -> 
( ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) ) )
9772, 75, 77, 89, 95, 96syl122anc 1232 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <->  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9870, 97mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   QQcq 11171   ^cexp 12122   sqrcsqr 13016   Xrm crmx 30291   Yrm crmy 30292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-numer 14116  df-denom 14117  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-squarenn 30232  df-pell1qr 30233  df-pell14qr 30234  df-pell1234qr 30235  df-pellfund 30236  df-rmx 30293  df-rmy 30294
This theorem is referenced by:  rmxadd  30318  rmyadd  30322
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