Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxy1 Structured version   Unicode version

Theorem rmxy1 31059
Description: Value of the X and Y sequences at 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxy1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Xrm  1 )  =  A  /\  ( A Yrm  1 )  =  1 ) )

Proof of Theorem rmxy1
StepHypRef Expression
1 1z 10829 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 rmxyval 31052 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  1 )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  1 ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ 1 ) )
31, 2mpan2 669 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Xrm  1 )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  1 ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ 1 ) )
4 rmbaserp 31056 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
54rpcnd 11197 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
65exp1d 12226 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
1 )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
7 rmspecpos 31053 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
87rpcnd 11197 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
98sqrtcld 13289 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  CC )
109mulid1d 9542 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  1 )  =  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
1110eqcomd 2400 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  1 ) )
1211oveq2d 6230 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =  ( A  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  1 ) ) )
133, 6, 123eqtrd 2437 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Xrm  1 )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  1 ) ) )  =  ( A  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  1 ) ) )
14 rmspecsqrtnq 31043 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
15 nn0ssq 11127 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
16 frmx 31050 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  1 )  e.  NN0 )
181, 17mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  e.  NN0 )
1915, 18sseldi 3428 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  e.  QQ )
20 zssq 11126 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
21 frmy 31051 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2221fovcl 6324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  1 )  e.  ZZ )
231, 22mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  e.  ZZ )
2420, 23sseldi 3428 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  e.  QQ )
25 eluzelz 11028 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
26 zq 11125 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  QQ )
2820, 1sselii 3427 . . . 4  |-  1  e.  QQ
2928a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  QQ )
30 qirropth 31045 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  1 )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  1 )  e.  QQ )  /\  ( A  e.  QQ  /\  1  e.  QQ ) )  -> 
( ( ( A Xrm  1 )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  1 ) ) )  =  ( A  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  1 ) )  <->  ( ( A Xrm  1 )  =  A  /\  ( A Yrm  1 )  =  1 ) ) )
3114, 19, 24, 27, 29, 30syl122anc 1235 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( A Xrm  1 )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  1 ) ) )  =  ( A  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  1 ) )  <->  ( ( A Xrm  1 )  =  A  /\  ( A Yrm  1 )  =  1 ) ) )
3213, 31mpbid 210 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Xrm  1 )  =  A  /\  ( A Yrm  1 )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    \ cdif 3399   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426    - cmin 9736   2c2 10520   NN0cn0 10730   ZZcz 10799   ZZ>=cuz 11019   QQcq 11119   ^cexp 12088   sqrcsqrt 13087   Xrm crmx 31037   Yrm crmy 31038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-omul 7071  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-acn 8254  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-pi 13829  df-dvds 14008  df-gcd 14166  df-numer 14289  df-denom 14290  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-limc 22374  df-dv 22375  df-log 23048  df-squarenn 30978  df-pell1qr 30979  df-pell14qr 30980  df-pell1234qr 30981  df-pellfund 30982  df-rmx 31039  df-rmy 31040
This theorem is referenced by:  rmx1  31063  rmy1  31067
  Copyright terms: Public domain W3C validator