Theorem rmxy0 31098

Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy0	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Proof of Theorem rmxy0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10871	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		rmxyval 31090	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
3	1, 2	mpan2 669	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
4		rmbaserp 31094	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. RR+ )
5	4	rpcnd 11261	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. CC )
6	5	exp0d 12286	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) = 1 )
7		rmspecpos 31091	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 11261	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
9	8	sqrtcld 13350	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
10	9	mul01d 9768	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
11	10	oveq2d 6286	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) = ( 1 + 0 ) )
12		1p0e1 10644	. . . 4 |- ( 1 + 0 ) = 1
13	11, 12	syl6req 2512	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
14	3, 6, 13	3eqtrd 2499	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
15		rmspecsqrtnq 31081	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
16		nn0ssq 11191	. . . 4 |- NN0 C_ QQ
17		frmx 31088	. . . . . 6 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 6380	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
19	1, 18	mpan2 669	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
20	16, 19	sseldi 3487	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. QQ )
21		zssq 11190	. . . 4 |- ZZ C_ QQ
22		frmy 31089	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
23	22	fovcl 6380	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
24	1, 23	mpan2 669	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
25	21, 24	sseldi 3487	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. QQ )
26		1z 10890	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
27	21, 26	sselii 3486	. . . 4 |- 1 e. QQ
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. QQ )
29	21, 1	sselii 3486	. . . 4 |- 0 e. QQ
30	29	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 e. QQ )
31		qirropth 31083	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm 0 ) e. QQ /\ ( A Yrm 0 ) e. QQ ) /\ ( 1 e. QQ /\ 0 e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
32	15, 20, 25, 28, 30, 31	syl122anc 1235	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
33	14, 32	mpbid 210	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   \ cdif 3458   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   - cmin 9796   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   QQcq 11183   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   X_rm crmx 31075   Y_rm crmy 31076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-numer 14352  df-denom 14353  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-squarenn 31016  df-pell1qr 31017  df-pell14qr 31018  df-pell1234qr 31019  df-pellfund 31020  df-rmx 31077  df-rmy 31078

This theorem is referenced by:  rmx0  31100  rmy0  31104