Theorem rmxy0 29407

Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy0	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Proof of Theorem rmxy0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10763	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		rmxyval 29399	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
3	1, 2	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
4		rmbaserp 29403	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. RR+ )
5	4	rpcnd 11135	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. CC )
6	5	exp0d 12114	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) = 1 )
7		rmspecpos 29400	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 11135	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
9	8	sqrcld 13036	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
10	9	mul01d 9674	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
11	10	oveq2d 6211	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) = ( 1 + 0 ) )
12		1p0e1 10540	. . . 4 |- ( 1 + 0 ) = 1
13	11, 12	syl6req 2510	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
14	3, 6, 13	3eqtrd 2497	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
15		rmspecsqrnq 29390	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
16		nn0ssq 11067	. . . 4 |- NN0 C_ QQ
17		frmx 29397	. . . . . 6 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 6300	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
19	1, 18	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
20	16, 19	sseldi 3457	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. QQ )
21		zssq 11066	. . . 4 |- ZZ C_ QQ
22		frmy 29398	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
23	22	fovcl 6300	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
24	1, 23	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
25	21, 24	sseldi 3457	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. QQ )
26		1z 10782	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
27	21, 26	sselii 3456	. . . 4 |- 1 e. QQ
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. QQ )
29	21, 1	sselii 3456	. . . 4 |- 0 e. QQ
30	29	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 e. QQ )
31		qirropth 29392	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm 0 ) e. QQ /\ ( A Yrm 0 ) e. QQ ) /\ ( 1 e. QQ /\ 0 e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
32	15, 20, 25, 28, 30, 31	syl122anc 1228	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
33	14, 32	mpbid 210	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   \ cdif 3428   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   0cc0 9388   1c1 9389   + caddc 9391   x. cmul 9393   - cmin 9701   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   QQcq 11059   ^cexp 11977   sqrcsqr 12835   X_rm crmx 29384   Y_rm crmy 29385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-acn 8218  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-numer 13926  df-denom 13927  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-squarenn 29325  df-pell1qr 29326  df-pell14qr 29327  df-pell1234qr 29328  df-pellfund 29329  df-rmx 29386  df-rmy 29387

This theorem is referenced by:  rmx0  29409  rmy0  29413