Theorem rmxy0 30463

Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy0	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Proof of Theorem rmxy0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 10871	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		rmxyval 30455	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
3	1, 2	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) )
4		rmbaserp 30459	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. RR+ )
5	4	rpcnd 11254	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) e. CC )
6	5	exp0d 12268	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A + ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) ) ^ 0 ) = 1 )
7		rmspecpos 30456	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. RR+ )
8	7	rpcnd 11254	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
9	8	sqrtcld 13227	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. CC )
10	9	mul01d 9774	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) = 0 )
11	10	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) = ( 1 + 0 ) )
12		1p0e1 10644	. . . 4 |- ( 1 + 0 ) = 1
13	11, 12	syl6req 2525	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
14	3, 6, 13	3eqtrd 2512	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) )
15		rmspecsqrtnq 30446	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) )
16		nn0ssq 11186	. . . 4 |- NN0 C_ QQ
17		frmx 30453	. . . . . 6 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 6389	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
19	1, 18	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. NN0 )
20	16, 19	sseldi 3502	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) e. QQ )
21		zssq 11185	. . . 4 |- ZZ C_ QQ
22		frmy 30454	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
23	22	fovcl 6389	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
24	1, 23	mpan2 671	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. ZZ )
25	21, 24	sseldi 3502	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) e. QQ )
26		1z 10890	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
27	21, 26	sselii 3501	. . . 4 |- 1 e. QQ
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. QQ )
29	21, 1	sselii 3501	. . . 4 |- 0 e. QQ
30	29	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 e. QQ )
31		qirropth 30448	. . 3 |- ( ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) e. ( CC \ QQ ) /\ ( ( A Xrm 0 ) e. QQ /\ ( A Yrm 0 ) e. QQ ) /\ ( 1 e. QQ /\ 0 e. QQ ) ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
32	15, 20, 25, 28, 30, 31	syl122anc 1237	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 + ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) - 1 ) ) x. 0 ) ) <-> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) ) )
33	14, 32	mpbid 210	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Xrm 0 ) = 1 /\ ( A Yrm 0 ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   \ cdif 3473   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   - cmin 9801   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   QQcq 11178   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   X_rm crmx 30440   Y_rm crmy 30441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-numer 14123  df-denom 14124  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-squarenn 30381  df-pell1qr 30382  df-pell14qr 30383  df-pell1234qr 30384  df-pellfund 30385  df-rmx 30442  df-rmy 30443

This theorem is referenced by:  rmx0  30465  rmy0  30469