Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxm1 Structured version   Unicode version

Theorem rmxm1 29280
Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxm1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )

Proof of Theorem rmxm1
StepHypRef Expression
1 neg1z 10686 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
2 rmxadd 29273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) ) )
31, 2mp3an3 1303 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) ) )
4 1z 10681 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
5 rmxneg 29270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
64, 5mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  ( A Xrm  1 ) )
7 rmx1 29272 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
86, 7eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  -u
1 )  =  A )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  -u 1 )  =  A )
109oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  A ) )
11 frmx 29259 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1211fovcl 6200 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1312nn0cnd 10643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
14 eluzelz 10875 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
1514zcnd 10753 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1713, 16mulcomd 9412 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )
1810, 17eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1 ) )  =  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )
19 rmyneg 29274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u 1 )  = 
-u ( A Yrm  1 ) )
204, 19mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u ( A Yrm  1 ) )
21 rmy1 29276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
2221negeqd 9609 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -u ( A Yrm  1 )  =  -u
1 )
2320, 22eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  -u
1 )  =  -u
1 )
2423oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm 
N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  -u 1
) )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  -u 1
) )
26 frmy 29260 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2726fovcl 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2827zcnd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
29 ax-1cn 9345 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 mulneg2 9787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
3128, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
3228mulid1d 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  ( A Yrm  N ) )
3332negeqd 9609 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  -u (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  -u ( A Yrm  N ) )
3431, 33eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  -u 1 )  = 
-u ( A Yrm  N ) )
3525, 34eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) )  =  -u ( A Yrm  N ) )
3635oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  -u ( A Yrm  N ) ) )
37 rmspecnonsq 29253 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
3837eldifad 3345 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
3938nncnd 10343 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
4140, 28mulneg2d 9803 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  -u ( A Yrm 
N ) )  = 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
4236, 41eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) )  =  -u (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
4318, 42oveq12d 6114 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  -u 1
) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  -u 1 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  + 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
443, 43eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  +  -u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
45 zcn 10656 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4645adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
47 negsub 9662 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
1 )  =  ( N  -  1 ) )
4846, 29, 47sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  +  -u 1 )  =  ( N  - 
1 ) )
4948oveq2d 6112 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  -u
1 ) )  =  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
5016, 13mulcld 9411 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  ( A Xrm  N
) )  e.  CC )
5140, 28mulcld 9411 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
5250, 51negsubd 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  + 
-u ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5344, 49, 523eqtr3d 2483 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    - cmin 9600   -ucneg 9601   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ^cexp 11870  ◻NNcsquarenn 29182   Xrm crmx 29246   Yrm crmy 29247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-numer 13818  df-denom 13819  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-squarenn 29187  df-pell1qr 29188  df-pell14qr 29189  df-pell1234qr 29190  df-pellfund 29191  df-rmx 29248  df-rmy 29249
This theorem is referenced by:  rmxluc  29282
  Copyright terms: Public domain W3C validator