Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxluc Structured version   Unicode version

Theorem rmxluc 35697
Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxluc  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem rmxluc
StepHypRef Expression
1 peano2zm 10926 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 frmx 35674 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
32fovcl 6354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
43nn0cnd 10873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
51, 4sylan2 476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
6 peano2z 10924 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
72fovcl 6354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
87nn0cnd 10873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
96, 8sylan2 476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
105, 9addcomd 9781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Xrm  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
11 rmxp1 35693 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
12 rmxm1 35695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
1311, 12oveq12d 6262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  + 
1 ) )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  N )  x.  A )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
142fovcl 6354 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10873 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
16 eluzelcn 11116 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
1716adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1815, 17mulcld 9609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  A )  e.  CC )
19 rmspecnonsq 35668 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2019eldifad 3386 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2120nncnd 10571 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
2221adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
23 frmy 35675 . . . . . . . . 9  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2423fovcl 6354 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2524zcnd 10987 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
2622, 25mulcld 9609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
2717, 15mulcld 9609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  ( A Xrm  N
) )  e.  CC )
2818, 26, 27ppncand 9972 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  N )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  A
)  +  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) ) )
2915, 17mulcomd 9610 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )
3029oveq1d 6259 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  A )  +  ( A  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) ) )
31 2cnd 10628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
3231, 17, 15mulassd 9612 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Xrm  N ) )  =  ( 2  x.  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) ) )
33272timesd 10801 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( A  x.  ( A Xrm  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( A  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
3432, 33eqtr2d 2458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( A  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
3528, 30, 343eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  N )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A  x.  ( A Xrm  N ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
3610, 13, 353eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Xrm  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
37 2cn 10626 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
38 mulcl 9569 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
3937, 17, 38sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
4039, 15mulcld 9609 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  CC )
4140, 5, 9subaddd 9950 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm  N ) )  -  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Xrm  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( A Xrm  N ) ) ) )
4236, 41mpbird 235 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  ( N  +  1 ) ) )
4342eqcomd 2429 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Xrm 
N ) )  -  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   1c1 9486    + caddc 9488    x. cmul 9490    - cmin 9806   NNcn 10555   2c2 10605   NN0cn0 10815   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   ^cexp 12217  ◻NNcsquarenn 35593   Xrm crmx 35661   Yrm crmy 35662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563  ax-addf 9564  ax-mulf 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xneg 11355  df-xadd 11356  df-xmul 11357  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-fl 11973  df-mod 12042  df-seq 12159  df-exp 12218  df-fac 12405  df-bc 12433  df-hash 12461  df-shft 13069  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-limsup 13464  df-clim 13490  df-rlim 13491  df-sum 13691  df-ef 14059  df-sin 14061  df-cos 14062  df-pi 14064  df-dvds 14244  df-gcd 14407  df-numer 14622  df-denom 14623  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-ip 15146  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-hom 15152  df-cco 15153  df-rest 15259  df-topn 15260  df-0g 15278  df-gsum 15279  df-topgen 15280  df-pt 15281  df-prds 15284  df-xrs 15338  df-qtop 15344  df-imas 15345  df-xps 15348  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-submnd 16521  df-mulg 16614  df-cntz 16909  df-cmn 17370  df-psmet 18900  df-xmet 18901  df-met 18902  df-bl 18903  df-mopn 18904  df-fbas 18905  df-fg 18906  df-cnfld 18909  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-lp 20089  df-perf 20090  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cncf 21847  df-limc 22758  df-dv 22759  df-log 23443  df-squarenn 35599  df-pell1qr 35600  df-pell14qr 35601  df-pell1234qr 35602  df-pellfund 35603  df-rmx 35663  df-rmy 35664
This theorem is referenced by:  jm2.18  35756
  Copyright terms: Public domain W3C validator