Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxdiophlem Structured version   Unicode version

Theorem rmxdiophlem 29364
Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdiophlem  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X  =  ( A Xrm  N
)  <->  E. y  e.  NN0  ( y  =  ( A Yrm  N )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, N    y, X

Proof of Theorem rmxdiophlem
StepHypRef Expression
1 nn0sqcl 29332 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
213ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
32nn0cnd 10638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
4 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5 nn0z 10669 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
653ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
7 frmx 29254 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
87fovcl 6195 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
94, 6, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
10 nn0sqcl 29332 . . . . . 6  |-  ( ( A Xrm  N )  e.  NN0  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  NN0 )
1211nn0cnd 10638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  CC )
13 rmspecnonsq 29248 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
1413eldifad 3340 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
1514nnnn0d 10636 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN0 )
16153ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN0 )
17 rmynn0 29300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN0 )
18173adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN0 )
19 nn0sqcl 29332 . . . . . . 7  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e. 
NN0 )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  e.  NN0 )
2116, 20nn0mulcld 10641 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  e.  NN0 )
2221nn0cnd 10638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  e.  CC )
233, 12, 22subcan2ad 9764 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  <->  ( X ^
2 )  =  ( ( A Xrm  N ) ^
2 ) ) )
24 rmxynorm 29259 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 )
254, 6, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 )
2625eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  <->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
27 nn0re 10588 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
28 nn0ge0 10605 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  0  <_  X )
2927, 28jca 532 . . . . 5  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X ) )
30293ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X ) )
31 nn0re 10588 . . . . . 6  |-  ( ( A Xrm  N )  e.  NN0  ->  ( A Xrm  N )  e.  RR )
32 nn0ge0 10605 . . . . . 6  |-  ( ( A Xrm  N )  e.  NN0  ->  0  <_  ( A Xrm  N
) )
3331, 32jca 532 . . . . 5  |-  ( ( A Xrm  N )  e.  NN0  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( A Xrm  N ) ) )
349, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A Xrm  N ) ) )
35 sq11 11938 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( ( A Xrm  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( A Xrm  N ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  <->  X  =  ( A Xrm  N ) ) )
3630, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( X ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  <->  X  =  ( A Xrm 
N ) ) )
3723, 26, 363bitr3rd 284 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X  =  ( A Xrm  N
)  <->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
38 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A Yrm  N )  ->  ( y ^
2 )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
2 ) )
3938oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A Yrm  N )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
4039oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A Yrm  N )  ->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) ) )
4140eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( y  =  ( A Yrm  N )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
4241ceqsrexv 3093 . . 3  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN0  ->  ( E. y  e. 
NN0  ( y  =  ( A Yrm  N )  /\  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 )  <-> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
4318, 42syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( E. y  e.  NN0  ( y  =  ( A Yrm  N )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
4437, 43bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( X  =  ( A Xrm  N
)  <->  E. y  e.  NN0  ( y  =  ( A Yrm  N )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ^cexp 11865  ◻NNcsquarenn 29177   Xrm crmx 29241   Yrm crmy 29242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-numer 13813  df-denom 13814  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-squarenn 29182  df-pell1qr 29183  df-pell14qr 29184  df-pell1234qr 29185  df-pellfund 29186  df-rmx 29243  df-rmy 29244
This theorem is referenced by:  rmxdioph  29365
  Copyright terms: Public domain W3C validator