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Theorem rmxdioph 29210
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elmapi 7222 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
3 df-3 10369 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4 ssid 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 3
)
53, 4jm2.27dlem5 29207 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 3
)
6 2nn 10467 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
76jm2.27dlem3 29205 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
85, 7sselii 3341 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 ... 3
)
9 ffvelrn 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  2 )  e. 
NN0 )
102, 8, 9sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  e.  NN0 )
1110adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  2
)  e.  NN0 )
12 3nn 10468 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
1312jm2.27dlem3 29205 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( 1 ... 3
)
14 ffvelrn 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  3  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  3 )  e. 
NN0 )
152, 13, 14sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  e.  NN0 )
1615adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  3
)  e.  NN0 )
17 rmxdiophlem 29209 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN0  /\  ( a `
 3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
181, 11, 16, 17syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) Xrm  ( a `  2
) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
1918pm5.32da 634 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
20 anass 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2120rexbii 2730 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
22 r19.42v 2865 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  =  ( ( a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2321, 22bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
2419, 23syl6bb 261 . . 3  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
2524rabbiia 2951 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
26 3nn0 10585 . . 3  |-  3  e.  NN0
27 vex 2965 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
2827resex 5138 . . . . . . 7  |-  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  e.  _V
29 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( c `
 4 )  e. 
_V
30 df-2 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3130, 5jm2.27dlem5 29207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 3
)
32 1nn 10321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
3332jm2.27dlem3 29205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 1 ... 1
)
3431, 33sselii 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( 1 ... 3
)
3534jm2.27dlem1 29203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  =  ( c ` 
1 ) )
3635eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
38 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
b  =  ( c `
 4 ) )
398jm2.27dlem1 29203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  =  ( c ` 
2 ) )
4035, 39oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  =  ( ( c `  1
) Yrm  ( c `  2
) ) )
4140adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )
4238, 41eqeq12d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
4337, 42anbi12d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  <->  ( (
c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
4413jm2.27dlem1 29203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  =  ( c ` 
3 ) )
4544oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 3 ) ^
2 ) )
4645adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )
4735oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 1 ) ^
2 ) )
4847oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 ) )
49 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c ` 
4 )  ->  (
b ^ 2 )  =  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) )
5048, 49oveqan12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )
5146, 50oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
5251eqeq1d 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5343, 52anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5428, 29, 53sbc2ie 3250 . . . . . 6  |-  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  ->  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5655rabbiia 2951 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
57 4nn0 10586 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
58 rmydioph 29208 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( b `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b `  3 )  =  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
59 simp1 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
1 )  =  ( c `  1 ) )
6059eleq1d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
61 simp3 983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
3 )  =  ( c `  4 ) )
62 simp2 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
2 )  =  ( c `  2 ) )
6359, 62oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )
6461, 63eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
6560, 64anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( ( b `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( b `  3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) ) )  <-> 
( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
66 df-4 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
67 ssid 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... 4 )  C_  ( 1 ... 4
)
6866, 67jm2.27dlem5 29207 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 4
)
693, 68jm2.27dlem5 29207 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 4
)
7030, 69jm2.27dlem5 29207 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 4
)
7170, 33sselii 3341 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 1 ... 4
)
7269, 7sselii 3341 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( 1 ... 4
)
73 4nn 10469 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7473jm2.27dlem3 29205 . . . . . . 7  |-  4  e.  ( 1 ... 4
)
7565, 71, 72, 74rabren3dioph 28999 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  { b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( b ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( ( b `  1 ) Yrm  ( b `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 ) )
7657, 58, 75mp2an 665 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )
77 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
7868, 13sselii 3341 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( 1 ... 4
)
79 mzpproj 28918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  3  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8077, 78, 79mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 3 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
81 2nn0 10584 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
82 mzpexpmpt 28926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  3
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8380, 81, 82mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
84 mzpproj 28918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8577, 71, 84mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
86 mzpexpmpt 28926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  1
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8785, 81, 86mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
88 1z 10664 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
89 mzpconstmpt 28921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9077, 88, 89mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
91 mzpsubmpt 28924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9287, 90, 91mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
93 mzpproj 28918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  4  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9477, 74, 93mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 4 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
95 mzpexpmpt 28926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9694, 81, 95mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
97 mzpmulmpt 28923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9892, 96, 97mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
99 mzpsubmpt 28924 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
10083, 98, 99mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
101 eqrabdioph 28961 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
4 ) )
10257, 100, 90, 101mp3an 1307 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4 )
103 anrabdioph 28964 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4
) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
) )
10476, 102, 103mp2an 665 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10556, 104eqeltri 2503 . . 3  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10666rexfrabdioph 28978 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  | 
[. ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /  a ]. [. ( c ` 
4 )  /  b ]. ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
4 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
10726, 105, 106mp2an 665 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 )
10825, 107eqeltri 2503 1  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   [.wsbc 3175    e. cmpt 4338    |` cres 4829   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   1c1 9271    x. cmul 9275    - cmin 9583   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424   ^cexp 11849  mzPolycmzp 28903  Diophcdioph 28938   Xrm crmx 29086   Yrm crmy 29087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-numer 13796  df-denom 13797  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-mzpcl 28904  df-mzp 28905  df-dioph 28939  df-squarenn 29027  df-pell1qr 29028  df-pell14qr 29029  df-pell1234qr 29030  df-pellfund 29031  df-rmx 29088  df-rmy 29089
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  29216
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