Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecpos Structured version   Unicode version

Theorem rmspecpos 30454
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a positive real. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecpos  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rmspecpos
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11088 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
21resqcld 12298 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
3 1re 9591 . . . 4  |-  1  e.  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
52, 4resubcld 9983 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
6 sq1 12224 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7 eluz2b1 11149 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  1  < 
A ) )
87simprbi 464 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
9 0le1 10072 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
11 2nn0 10808 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
12 eluznn0 11147 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
1311, 12mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10851 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
154, 1, 10, 14lt2sqd 12306 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
168, 15mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
176, 16syl5eqbrr 4481 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
184, 2posdifd 10135 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
1917, 18mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
205, 19elrpd 11250 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ^cexp 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12071  df-exp 12130
This theorem is referenced by:  rmxycomplete  30455  rmxy1  30460  rmxy0  30461  rmxypos  30487  jm2.23  30542
  Copyright terms: Public domain W3C validator