Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Unicode version

Theorem rmspecnonsq 30819
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11101 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 zsqcl 12220 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
4 1zzd 10902 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
53, 4zsubcld 10981 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
6 sq1 12244 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7 eluz2b2 11165 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
87simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
9 1red 9614 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
10 eluzelre 11102 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
11 0le1 10083 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
13 eluzge2nn0 11131 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10862 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
159, 10, 12, 14lt2sqd 12326 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
168, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
176, 16syl5eqbrr 4471 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
1810resqcld 12318 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
199, 18posdifd 10146 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2017, 19mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
21 elnnz 10881 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )
225, 20, 21sylanbrc 664 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
23 rmspecsqrtnq 30818 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
2423eldifbd 3474 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
2524intnand 916 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
26 df-squarenn 30753 . . . . 5  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
2726eleq2i 2521 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN  <->  ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } )
28 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2928eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3029elrab 3243 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } 
<->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3127, 30bitr2i 250 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ )  <->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.NN )
3225, 31sylnib 304 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN )
3322, 32eldifd 3472 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    \ cdif 3458   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10543   2c2 10592   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   QQcq 11193   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13048  ◻NNcsquarenn 30748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-numer 14250  df-denom 14251  df-squarenn 30753
This theorem is referenced by:  rmspecfund  30821  rmxyelqirr  30822  rmxycomplete  30829  rmbaserp  30831  rmxyneg  30832  rmxm1  30846  rmxluc  30848  rmxdbl  30851  ltrmxnn0  30863  jm2.19lem1  30907  jm2.23  30914  rmxdiophlem  30933
  Copyright terms: Public domain W3C validator