Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Unicode version

Theorem rmspecnonsq 30762
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11103 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 zsqcl 12218 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
4 1z 10906 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10983 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
7 sq1 12242 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8 eluz2b2 11166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
98simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
10 1re 9607 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 11104 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
13 0le1 10088 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
15 2nn0 10824 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
16 eluznn0 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
1715, 16mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1817nn0ge0d 10867 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
1911, 12, 14, 18lt2sqd 12324 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
209, 19mpbid 210 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
217, 20syl5eqbrr 4487 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
2212resqcld 12316 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2311, 22posdifd 10151 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2421, 23mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
25 elnnz 10886 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 664 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
27 rmspecsqrtnq 30761 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
2827eldifbd 3494 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
2928intnand 914 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
30 df-squarenn 30696 . . . . 5  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
3130eleq2i 2545 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN  <->  ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } )
32 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3433elrab 3266 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } 
<->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3531, 34bitr2i 250 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ )  <->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.NN )
3629, 35sylnib 304 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN )
3726, 36eldifd 3492 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    \ cdif 3478   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   QQcq 11194   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13046  ◻NNcsquarenn 30691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145  df-squarenn 30696
This theorem is referenced by:  rmspecfund  30764  rmxyelqirr  30765  rmxycomplete  30772  rmbaserp  30774  rmxyneg  30775  rmxm1  30789  rmxluc  30791  rmxdbl  30794  ltrmxnn0  30806  jm2.19lem1  30850  jm2.23  30857  rmxdiophlem  30876
  Copyright terms: Public domain W3C validator