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Theorem rmo4fOLD 27059
Description: Restricted "at most one" using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rmo4f.1  |-  F/_ x A
rmo4f.2  |-  F/_ y A
rmo4f.3  |-  F/ x ps
rmo4f.4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rmo4fOLD  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    A( x, y)

Proof of Theorem rmo4fOLD
StepHypRef Expression
1 an4 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
2 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A )
)
32anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
41, 3bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
54imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  x  =  y ) )
6 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
7 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
85, 6, 73bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
98albii 1615 . . . 4  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
10 df-ral 2814 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
11 nfcv 2624 . . . . . 6  |-  F/_ y
x
12 rmo4f.2 . . . . . 6  |-  F/_ y A
1311, 12nfel 2637 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
1413r19.21 2858 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
159, 10, 143bitr2i 273 . . 3  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
1615albii 1615 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
17 nfv 1678 . . . . 5  |-  F/ y
ph
1813, 17nfan 1870 . . . 4  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
1918mo3 2315 . . 3  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) )
20 nfcv 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
21 rmo4f.1 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x A
2220, 21nfel 2637 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  e.  A
23 rmo4f.3 . . . . . . . 8  |-  F/ x ps
2422, 23nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  ps )
25 eleq1 2534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
26 rmo4f.4 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  ps )
) )
2824, 27sbie 2118 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  ps )
)
2928anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) ) )
3029imbi1i 325 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y ) )
31302albii 1616 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )
)
3219, 31bitri 249 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )
)
33 df-ral 2814 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
3416, 32, 333bitr4i 277 1  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   F/wnf 1594   [wsb 1706    e. wcel 1762   E*wmo 2271   F/_wnfc 2610   A.wral 2809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ral 2814
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