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Theorem rmo3 3290
Description: Restricted "at most one" using explicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2012.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
rmo2.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
rmo3  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem rmo3
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2728 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 sban 2091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( [
y  /  x ]
x  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
3 clelsb3 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
43anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
52, 4bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )
65anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
7 an4 820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  [ y  /  x ] ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
8 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A )
)
98anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
106, 7, 93bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) ) )
1110imbi1i 325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( (
( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )
)
12 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  [ y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
13 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
1411, 12, 133bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
1514albii 1610 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
16 df-ral 2725 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
17 r19.21v 2808 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
1815, 16, 173bitr2i 273 . . . 4  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
1918albii 1610 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
20 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
21 rmo2.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
2220, 21nfan 1861 . . . 4  |-  F/ y ( x  e.  A  /\  ph )
2322mo3 2298 . . 3  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)  ->  x  =  y ) )
24 df-ral 2725 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )
) )
2519, 23, 243bitr4i 277 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
261, 25bitri 249 1  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367   F/wnf 1589   [wsb 1700    e. wcel 1756   E*wmo 2254   A.wral 2720   E*wrmo 2723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-ral 2725  df-rmo 2728
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