Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Unicode version

Theorem rmfsupp 30928
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 5554 . . 3  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) )
3 id 22 . . . 4  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  A finSupp  ( 0g
`  M ) )
43fsuppimpd 7730 . . 3  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e.  Fin )
5 rmsuppfi.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  M
)
65rmsuppfi 30927 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e. 
Fin )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
74, 6syl3an3 1254 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
8 mptexg 6048 . . . . 5  |-  ( V  e.  X  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
983ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
11 fvex 5801 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
12 isfsupp 7727 . . 3  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
1310, 11, 12sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
142, 7, 13mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   Fun wfun 5512   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   supp csupp 6792    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   finSupp cfsupp 7723   Basecbs 14278   .rcmulr 14343   0gc0g 14482   Ringcrg 16753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-mgp 16699  df-rng 16755
This theorem is referenced by:  lincscmcl  31075
  Copyright terms: Public domain W3C validator