Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Unicode version

Theorem rmfsupp 32040
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 5622 . . 3  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) )
3 id 22 . . . 4  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  A finSupp  ( 0g
`  M ) )
43fsuppimpd 7832 . . 3  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e.  Fin )
5 rmsuppfi.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  M
)
65rmsuppfi 32039 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e. 
Fin )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
74, 6syl3an3 1263 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
8 mptexg 6128 . . . . 5  |-  ( V  e.  X  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
983ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
11 fvex 5874 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
12 isfsupp 7829 . . 3  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
1310, 11, 12sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
142, 7, 13mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691   Ringcrg 16986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-mgp 16932  df-rng 16988
This theorem is referenced by:  lincscmcl  32106
  Copyright terms: Public domain W3C validator