Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Unicode version

Theorem rmfsupp 38478
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 5605 . . 3  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) )
3 id 22 . . . 4  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  A finSupp  ( 0g
`  M ) )
43fsuppimpd 7870 . . 3  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e.  Fin )
5 rmsuppfi.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  M
)
65rmsuppfi 38477 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e. 
Fin )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
74, 6syl3an3 1265 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
8 mptexg 6123 . . . . 5  |-  ( V  e.  X  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
983ad2ant2 1019 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
11 fvex 5859 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
12 isfsupp 7867 . . 3  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
1310, 11, 12sylancl 660 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
142, 7, 13mpbir2and 923 1  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   Fun wfun 5563   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   supp csupp 6902    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   0gc0g 15054   Ringcrg 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-mgp 17462  df-ring 17520
This theorem is referenced by:  lincscmcl  38544
  Copyright terms: Public domain W3C validator