Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Unicode version

Theorem rmfsupp 39752
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, C    v, M    v, R    v, X    v, V

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 5575 . . 3  |-  Fun  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) )
3 id 22 . . . 4  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  A finSupp  ( 0g
`  M ) )
43fsuppimpd 7838 . . 3  |-  ( A finSupp 
( 0g `  M
)  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e.  Fin )
5 rmsuppfi.r . . . 4  |-  R  =  ( Base `  M
)
65rmsuppfi 39751 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( A supp  ( 0g `  M ) )  e. 
Fin )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
74, 6syl3an3 1299 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin )
8 mptexg 6089 . . . . 5  |-  ( V  e.  X  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
983ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) )  e.  _V )
11 fvex 5830 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
12 isfsupp 7835 . . 3  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
1310, 11, 12sylancl 666 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  M )  <->  ( Fun  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  M ) ( A `  v ) ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  e.  Fin ) ) )
142, 7, 13mpbir2and 930 1  |-  ( ( ( M  e.  Ring  /\  V  e.  X  /\  C  e.  R )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  M
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  M ) ( A `
 v ) ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3017   class class class wbr 4361    |-> cmpt 4420   Fun wfun 5533   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   supp csupp 6864    ^m cmap 7422   Fincfn 7519   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 15059   .rcmulr 15129   0gc0g 15276   Ringcrg 17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-plusg 15141  df-0g 15278  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-grp 16611  df-mgp 17662  df-ring 17720
This theorem is referenced by:  lincscmcl  39818
  Copyright terms: Public domain W3C validator