MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlmlmod Structured version   Unicode version

Theorem rlmlmod 17663
Description: The ring module is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlmlmod  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )

Proof of Theorem rlmlmod
StepHypRef Expression
1 rlmval 17649 . 2  |-  (ringLMod `  R
)  =  ( (subringAlg  `  R ) `  ( Base `  R ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
32subrgid 17243 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  e.  (SubRing `  R ) )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (subringAlg  `  R ) `  ( Base `  R ) )  =  ( (subringAlg  `  R
) `  ( Base `  R ) )
54sralmod 17645 . . 3  |-  ( (
Base `  R )  e.  (SubRing `  R )  ->  ( (subringAlg  `  R ) `
 ( Base `  R
) )  e.  LMod )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (subringAlg  `  R ) `  ( Base `  R ) )  e.  LMod )
71, 6syl5eqel 2559 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5588   Basecbs 14493   Ringcrg 17012  SubRingcsubrg 17237   LModclmod 17324  subringAlg csra 17626  ringLModcrglmod 17627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-subg 16012  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-sra 17630  df-rgmod 17631
This theorem is referenced by:  rlmlvec  17664  lidl0cl  17671  lidlacl  17672  lidlnegcl  17673  lidlmcl  17676  lidl0  17678  lidl1  17679  lidlacs  17680  rspcl  17681  rspssid  17682  rsp0  17684  rspssp  17685  mrcrsp  17686  rspsn  17713  isphld  18496  frlmlmod  18587  frlmlss  18589  frlm0  18592  frlmsubgval  18605  frlmgsumOLD  18608  frlmgsum  18609  frlmsplit2  18610  islnr2  30894
  Copyright terms: Public domain W3C validator