MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Structured version   Unicode version

Theorem rlimuni 13455
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimuni.2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimuni.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
rlimuni.4  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
Assertion
Ref Expression
rlimuni  |-  ( ph  ->  B  =  C )

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
2 rlimcl 13408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  B  ->  B  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
43ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
6 rlimcl 13408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
94, 8subcld 9922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
109abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
1110ltnrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  ( abs `  ( B  -  C )
) )
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1312ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1413adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 4abssubd 13366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) ) )
1615breq1d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( B  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
1716anbi1d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
18 abs3lem 13253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
2017, 19sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( abs `  ( B  -  C )
) ) )
2120imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2221com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
j  <_  k  ->  ( ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2322impd 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )
2411, 23mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2524nrexdv 2910 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  E. k  e.  A  (
j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
26 r19.29r 2990 . . . . 5  |-  ( ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2725, 26nsyl 121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2827nrexdv 2910 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
29 rlimuni.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
30 fdm 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
32 rlimss 13407 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  B  ->  dom  F 
C_  RR )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
3431, 33eqsstr3d 3524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
35 ressxr 9626 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
37 supxrunb1 11514 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3929, 38mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k )
40 r19.29 2989 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
4140ex 432 . . . 4  |-  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4328, 42mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
4412adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F : A
--> CC )
45 ffvelrn 6005 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
4645ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
4744, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
483adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  CC )
497adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
51 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
5248, 49, 51subne0d 9931 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  =/=  0
)
5350, 52absrpcld 13361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR+ )
5453rphalfcld 11271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
5544feqmptd 5901 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
561adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  B
)
5755, 56eqbrtrrd 4461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  B )
5847, 54, 57rlimi 13418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
595adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  C
)
6055, 59eqbrtrrd 4461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  C )
6147, 54, 60rlimi 13418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
6234adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A  C_  RR )
63 rexanre 13261 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6558, 61, 64mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
6665ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  C  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
6766necon1bd 2672 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  B  =  C ) )
6843, 67mpd 15 1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   abscabs 13149    ~~> r crli 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-rlim 13394
This theorem is referenced by:  rlimdm  13456  rlimdmafv  32501
  Copyright terms: Public domain W3C validator