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Theorem rlimuni 13336
Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimuni.2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimuni.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
rlimuni.4  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
Assertion
Ref Expression
rlimuni  |-  ( ph  ->  B  =  C )

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  B )
2 rlimcl 13289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  B  ->  B  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  C )
6 rlimcl 13289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
94, 8subcld 9930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
109abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
1110ltnrd 9718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  ( abs `  ( B  -  C )
) )
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1312ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1514, 4abssubd 13247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) ) )
1615breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( B  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
18 abs3lem 13134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  ( B  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
2017, 19sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( abs `  ( B  -  C )
) ) )
2120imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( j  <_  k  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2221com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
j  <_  k  ->  ( ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )
2322impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )
2411, 23mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2524nrexdv 2920 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  E. k  e.  A  (
j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
26 r19.29r 2998 . . . . 5  |-  ( ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( j  <_  k  /\  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2725, 26nsyl 121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  RR )  ->  -.  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
2827nrexdv 2920 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
29 rlimuni.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
30 fdm 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
32 rlimss 13288 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  B  ->  dom  F 
C_  RR )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
3431, 33eqsstr3d 3539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
35 ressxr 9637 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
37 supxrunb1 11511 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3929, 38mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k )
40 r19.29 2997 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) )
4140ex 434 . . . 4  |-  ( A. j  e.  RR  E. k  e.  A  j  <_  k  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  E. j  e.  RR  ( E. k  e.  A  j  <_  k  /\  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
4328, 42mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
4412adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F : A
--> CC )
45 ffvelrn 6019 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
4645ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
4744, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A. k  e.  A  ( F `  k )  e.  CC )
483adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  e.  CC )
497adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
51 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  C )
5248, 49, 51subne0d 9939 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( B  -  C )  =/=  0
)
5350, 52absrpcld 13242 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  e.  RR+ )
5453rphalfcld 11268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
5544feqmptd 5920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
561adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  B
)
5755, 56eqbrtrrd 4469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  B )
5847, 54, 57rlimi 13299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
595adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  F  ~~> r  C
)
6055, 59eqbrtrrd 4469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  ~~> r  C )
6147, 54, 60rlimi 13299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) )
6234adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  A  C_  RR )
63 rexanre 13142 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C
) )  <  (
( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 ) ) ) ) )
6558, 61, 64mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  C )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) ) )
6665ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  C  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C
) )  /  2
) ) ) ) )
6766necon1bd 2685 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  C ) )  <  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  /  2 ) ) )  ->  B  =  C ) )
6843, 67mpd 15 1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   CCcc 9490   RRcr 9491   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   2c2 10585   abscabs 13030    ~~> r crli 13271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-rlim 13275
This theorem is referenced by:  rlimdm  13337  rlimdmafv  31757
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