Theorem rlimsqzlem 13433

Description: Lemma for rlimsqz 13434 and rlimsqz2 13435. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	|- ( ph -> M e. RR )
rlimsqzlem.e	|- ( ph -> E e. CC )
rlimsqzlem.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimsqzlem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimsqzlem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
rlimsqzlem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, E   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M e. RR )
4	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
5		elicopnf 11619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
7	6	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> z e. RR )
8	7	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z e. RR )
9		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
11	9, 10	fmptd 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
12		fdm 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> CC -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
14		rlimss 13287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
15	1, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
16	13, 15	eqsstr3d 3539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
18	17	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> x e. RR )
20	6	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ z )
21	20	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ z )
22		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z <_ x )
23	3, 8, 19, 21, 22	letrd 9737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ x )
24		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
25	24	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
26	25	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
27	23, 26	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
28		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
29		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E e. CC )
31	28, 30	subcld 9929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C - E ) e. CC )
32	31	abscld 13229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
33	32	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
35		rlimcl 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
36	1, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. CC )
38	9, 37	subcld 9929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B - D ) e. CC )
39	38	abscld 13229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
40	39	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
42		rpre 11225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
43	42	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> y e. RR )
44		lelttr 9674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( C - E ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - D ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
45	34, 41, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
46	27, 45	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
47	46	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
48	47	an32s 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
49	48	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
50	49	ralimdva 2872	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
51	50	reximdva 2938	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
52	51	ralimdva 2872	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
53	9	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
54	53, 16, 36, 2	rlim3 13283	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) ) )
55	28	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
56	55, 16, 29, 2	rlim3 13283	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
57	52, 54, 56	3imtr4d 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E ) )
58	1, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   +oocpnf 9624   < clt 9627   <_ cle 9628   - cmin 9804   RR+crp 11219   [,)cico 11530   abscabs 13029   ~~> r crli 13270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ico 11534  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-rlim 13274

This theorem is referenced by:  rlimsqz  13434  rlimsqz2  13435  cxploglim2  23052  logfacrlim  23243  logexprlim  23244