Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rlimsqzlem 13789
 Description: Lemma for rlimsqz 13790 and rlimsqz2 13791. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m
rlimsqzlem.e
rlimsqzlem.1
rlimsqzlem.2
rlimsqzlem.3
rlimsqzlem.4
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13
32ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
42ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
5 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . . . . . 15
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
76simprbda 635 . . . . . . . . . . . . 13
87adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
9 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119, 10dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 rlimss 13643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1411, 13eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
1615sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
186simplbda 636 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
20 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
213, 8, 17, 19, 20letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13
2322anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12
2423adantllr 733 . . . . . . . . . . 11
2521, 24syldan 478 . . . . . . . . . 10
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
2926, 28subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14
3029abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
3231adantr 472 . . . . . . . . . . 11
33 rlimcl 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
3610, 35subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14
3736abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
3938adantr 472 . . . . . . . . . . 11
40 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12
4140ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11
42 lelttr 9742 . . . . . . . . . . 11
4332, 39, 41, 42syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
4425, 43mpand 689 . . . . . . . . 9
4544expr 626 . . . . . . . 8
4645an32s 821 . . . . . . 7
4746a2d 28 . . . . . 6
4847ralimdva 2805 . . . . 5
4948reximdva 2858 . . . 4
5049ralimdva 2805 . . 3
5110ralrimiva 2809 . . . 4
5251, 14, 34, 2rlim3 13639 . . 3
5326ralrimiva 2809 . . . 4
5453, 14, 27, 2rlim3 13639 . . 3
5550, 52, 543imtr4d 276 . 2
561, 55mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556   cpnf 9690   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  crp 11325  cico 11662  cabs 13374   crli 13626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rlim 13630 This theorem is referenced by:  rlimsqz  13790  rlimsqz2  13791  cxploglim2  23983  logfacrlim  24231  logexprlim  24232
 Copyright terms: Public domain W3C validator