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Theorem rlimsqzlem 13122
Description: Lemma for rlimsqz 13123 and rlimsqz2 13124. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
rlimsqzlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
rlimsqzlem.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimsqzlem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimsqzlem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
rlimsqzlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, E    ph, x    x, M
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
32ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
42ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  RR )
5 elicopnf 11381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
z  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
76simprbda 620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR )
87adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  e.  RR )
9 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
10 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
119, 10fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
12 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
14 rlimss 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
151, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1613, 15eqsstr3d 3388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1716adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  RR )
1817sselda 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1918adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
206simplbda 621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  M  <_  z
)
2120adantrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  z )
22 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  <_  x )
233, 8, 19, 21, 22letrd 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  x )
24 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2524anassrs 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <_ 
( abs `  ( B  -  D )
) )
2625adantllr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2723, 26syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <_  ( abs `  ( B  -  D ) ) )
28 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
29 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
3029adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  e.  CC )
3128, 30subcld 9715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
3231abscld 12918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3332adantlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3433adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  e.  RR )
35 rlimcl 12977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3736adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  CC )
389, 37subcld 9715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  D )  e.  CC )
3938abscld 12918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4039adantlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4140adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  e.  RR )
42 rpre 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4342ad3antlr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  y  e.  RR )
44 lelttr 9461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( C  -  E )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4534, 41, 43, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4627, 45mpand 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) )
4746expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
4847an32s 797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
4948a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5049ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5150reximdva 2826 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y
)  ->  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5251ralimdva 2792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
539ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
5453, 16, 36, 2rlim3 12972 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )
) )
5528ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
5655, 16, 29, 2rlim3 12972 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5752, 54, 563imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
) )
581, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   RR+crp 10987   [,)cico 11298   abscabs 12719    ~~> r crli 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-rlim 12963
This theorem is referenced by:  rlimsqz  13123  rlimsqz2  13124  cxploglim2  22315  logfacrlim  22506  logexprlim  22507
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