Theorem rlimsqzlem 13482

Description: Lemma for rlimsqz 13483 and rlimsqz2 13484. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	|- ( ph -> M e. RR )
rlimsqzlem.e	|- ( ph -> E e. CC )
rlimsqzlem.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimsqzlem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimsqzlem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
rlimsqzlem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, E   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M e. RR )
4	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
5		elicopnf 11645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
7	6	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> z e. RR )
8	7	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z e. RR )
9		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
11	9, 10	dmmptd 5717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
12		rlimss 13336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
13	1, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
14	11, 13	eqsstr3d 3534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> x e. RR )
18	6	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ z )
19	18	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ z )
20		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z <_ x )
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 9756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ x )
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
23	22	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
24	23	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
25	21, 24	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E e. CC )
29	26, 28	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C - E ) e. CC )
30	29	abscld 13278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
31	30	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
33		rlimcl 13337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
34	1, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. CC )
36	10, 35	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B - D ) e. CC )
37	36	abscld 13278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
38	37	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
40		rpre 11251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
41	40	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> y e. RR )
42		lelttr 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( C - E ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - D ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
43	32, 39, 41, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
44	25, 43	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
45	44	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
46	45	an32s 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
47	46	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
48	47	ralimdva 2865	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
49	48	reximdva 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
50	49	ralimdva 2865	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
51	10	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
52	51, 14, 34, 2	rlim3 13332	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) ) )
53	26	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
54	53, 14, 27, 2	rlim3 13332	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
55	50, 52, 54	3imtr4d 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E ) )
56	1, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   RR+crp 11245   [,)cico 11556   abscabs 13078   ~~> r crli 13319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-rlim 13323

This theorem is referenced by:  rlimsqz  13483  rlimsqz2  13484  cxploglim2  23433  logfacrlim  23624  logexprlim  23625