Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Structured version   Unicode version

Theorem rlimsqzlem 13433
 Description: Lemma for rlimsqz 13434 and rlimsqz2 13435. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m
rlimsqzlem.e
rlimsqzlem.1
rlimsqzlem.2
rlimsqzlem.3
rlimsqzlem.4
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12
42ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
5 elicopnf 11619 . . . . . . . . . . . . . . 15
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
76simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
87adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
9 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119, 10fmptd 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 fdm 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 rlimss 13287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1613, 15eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
1817sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
206simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13
2120adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
233, 8, 19, 21, 22letrd 9737 . . . . . . . . . . 11
24 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13
2524anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
2625adantllr 718 . . . . . . . . . . 11
2723, 26syldan 470 . . . . . . . . . 10
28 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3128, 30subcld 9929 . . . . . . . . . . . . . 14
3231abscld 13229 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
3433adantr 465 . . . . . . . . . . 11
35 rlimcl 13288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
389, 37subcld 9929 . . . . . . . . . . . . . 14
3938abscld 13229 . . . . . . . . . . . . 13
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11
42 rpre 11225 . . . . . . . . . . . 12
4342ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11
44 lelttr 9674 . . . . . . . . . . 11
4534, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4627, 45mpand 675 . . . . . . . . 9
4746expr 615 . . . . . . . 8
4847an32s 802 . . . . . . 7
4948a2d 26 . . . . . 6
5049ralimdva 2872 . . . . 5
5150reximdva 2938 . . . 4
5251ralimdva 2872 . . 3
539ralrimiva 2878 . . . 4
5453, 16, 36, 2rlim3 13283 . . 3
5528ralrimiva 2878 . . . 4
5655, 16, 29, 2rlim3 13283 . . 3
5752, 54, 563imtr4d 268 . 2
581, 57mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815   wss 3476   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283  cc 9489  cr 9490   cpnf 9624   clt 9627   cle 9628   cmin 9804  crp 11219  cico 11530  cabs 13029   crli 13270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ico 11534  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-rlim 13274 This theorem is referenced by:  rlimsqz  13434  rlimsqz2  13435  cxploglim2  23052  logfacrlim  23243  logexprlim  23244
 Copyright terms: Public domain W3C validator