Theorem rlimsqzlem 13138

Description: Lemma for rlimsqz 13139 and rlimsqz2 13140. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	|- ( ph -> M e. RR )
rlimsqzlem.e	|- ( ph -> E e. CC )
rlimsqzlem.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimsqzlem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimsqzlem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
rlimsqzlem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, E   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M e. RR )
4	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
5		elicopnf 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
7	6	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> z e. RR )
8	7	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z e. RR )
9		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
11	9, 10	fmptd 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
12		fdm 5575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> CC -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
14		rlimss 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
15	1, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
16	13, 15	eqsstr3d 3403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
18	17	sselda 3368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> x e. RR )
20	6	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ z )
21	20	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ z )
22		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z <_ x )
23	3, 8, 19, 21, 22	letrd 9540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ x )
24		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
25	24	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
26	25	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
27	23, 26	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
28		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
29		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E e. CC )
31	28, 30	subcld 9731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C - E ) e. CC )
32	31	abscld 12934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
33	32	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
35		rlimcl 12993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
36	1, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. CC )
38	9, 37	subcld 9731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B - D ) e. CC )
39	38	abscld 12934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
40	39	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
42		rpre 11009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
43	42	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> y e. RR )
44		lelttr 9477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( C - E ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - D ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
45	34, 41, 43, 44	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
46	27, 45	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
47	46	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
48	47	an32s 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
49	48	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
50	49	ralimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
51	50	reximdva 2840	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
52	51	ralimdva 2806	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
53	9	ralrimiva 2811	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
54	53, 16, 36, 2	rlim3 12988	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) ) )
55	28	ralrimiva 2811	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
56	55, 16, 29, 2	rlim3 12988	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
57	52, 54, 56	3imtr4d 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E ) )
58	1, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   C_ wss 3340   class class class wbr 4304   e. cmpt 4362   dom cdm 4852   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   +oocpnf 9427   < clt 9430   <_ cle 9431   - cmin 9607   RR+crp 11003   [,)cico 11314   abscabs 12735   ~~> r crli 12975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-ico 11318  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-rlim 12979

This theorem is referenced by:  rlimsqz  13139  rlimsqz2  13140  cxploglim2  22384  logfacrlim  22575  logexprlim  22576