Theorem rlimsqzlem 13789

Description: Lemma for rlimsqz 13790 and rlimsqz2 13791. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	|- ( ph -> M e. RR )
rlimsqzlem.e	|- ( ph -> E e. CC )
rlimsqzlem.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimsqzlem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimsqzlem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
rlimsqzlem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, E   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
3	2	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M e. RR )
4	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
5		elicopnf 11755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
7	6	simprbda 635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> z e. RR )
8	7	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z e. RR )
9		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
10		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
11	9, 10	dmmptd 5718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
12		rlimss 13643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
14	11, 13	eqsstr3d 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
16	15	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> x e. RR )
18	6	simplbda 636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ z )
19	18	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ z )
20		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z <_ x )
21	3, 8, 17, 19, 20	letrd 9809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ x )
22		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
23	22	anassrs 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
24	23	adantllr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
25	21, 24	syldan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
26		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
27		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
28	27	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E e. CC )
29	26, 28	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C - E ) e. CC )
30	29	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
31	30	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
32	31	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
33		rlimcl 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
35	34	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. CC )
36	10, 35	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B - D ) e. CC )
37	36	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
38	37	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
39	38	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
40		rpre 11331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
41	40	ad3antlr 745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> y e. RR )
42		lelttr 9742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( C - E ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - D ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
43	32, 39, 41, 42	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
44	25, 43	mpand 689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
45	44	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
46	45	an32s 821	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
47	46	a2d 28	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
48	47	ralimdva 2805	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
49	48	reximdva 2858	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
50	49	ralimdva 2805	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
51	10	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
52	51, 14, 34, 2	rlim3 13639	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) ) )
53	26	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
54	53, 14, 27, 2	rlim3 13639	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
55	50, 52, 54	3imtr4d 276	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E ) )
56	1, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   RR+crp 11325   [,)cico 11662   abscabs 13374   ~~> r crli 13626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rlim 13630

This theorem is referenced by:  rlimsqz  13790  rlimsqz2  13791  cxploglim2  23983  logfacrlim  24231  logexprlim  24232