Theorem rlimsqzlem 13122

Description: Lemma for rlimsqz 13123 and rlimsqz2 13124. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimsqzlem.m	|- ( ph -> M e. RR )
rlimsqzlem.e	|- ( ph -> E e. CC )
rlimsqzlem.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimsqzlem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimsqzlem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
rlimsqzlem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimsqzlem	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, E   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimsqzlem.1	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
2		rlimsqzlem.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
3	2	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M e. RR )
4	2	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> M e. RR )
5		elicopnf 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. RR -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( z e. ( M [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ M <_ z ) ) )
7	6	simprbda 620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> z e. RR )
8	7	adantrr 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z e. RR )
9		rlimsqzlem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
10		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
11	9, 10	fmptd 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
12		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> CC -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
14		rlimss 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
15	1, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
16	13, 15	eqsstr3d 3388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR )
18	17	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
19	18	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> x e. RR )
20	6	simplbda 621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ z )
21	20	adantrr 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ z )
22		simprr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> z <_ x )
23	3, 8, 19, 21, 22	letrd 9524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> M <_ x )
24		rlimsqzlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
25	24	anassrs 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
26	25	adantllr 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
27	23, 26	syldan 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) )
28		rlimsqzlem.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
29		rlimsqzlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
30	29	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E e. CC )
31	28, 30	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C - E ) e. CC )
32	31	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
33	32	adantlr 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
34	33	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( C - E ) ) e. RR )
35		rlimcl 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
36	1, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
37	36	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. CC )
38	9, 37	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B - D ) e. CC )
39	38	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
40	39	adantlr 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
41	40	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( abs ` ( B - D ) ) e. RR )
42		rpre 10993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
43	42	ad3antlr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> y e. RR )
44		lelttr 9461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` ( C - E ) ) e. RR /\ ( abs ` ( B - D ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
45	34, 41, 43, 44	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( C - E ) ) <_ ( abs ` ( B - D ) ) /\ ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
46	27, 45	mpand 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ ( z e. ( M [,) +oo ) /\ z <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) )
47	46	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
48	47	an32s 797	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( z <_ x -> ( ( abs ` ( B - D ) ) < y -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
49	48	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
50	49	ralimdva 2792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ z e. ( M [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
51	50	reximdva 2826	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
52	51	ralimdva 2792	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
53	9	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. CC )
54	53, 16, 36, 2	rlim3 12972	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( B - D ) ) < y ) ) )
55	28	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
56	55, 16, 29, 2	rlim3 12972	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E <-> A. y e. RR+ E. z e. ( M [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( C - E ) ) < y ) ) )
57	52, 54, 56	3imtr4d 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E ) )
58	1, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   RR+crp 10987   [,)cico 11298   abscabs 12719   ~~> r crli 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-rlim 12963

This theorem is referenced by:  rlimsqz  13123  rlimsqz2  13124  cxploglim2  22315  logfacrlim  22506  logexprlim  22507