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Theorem rlimsqzlem 13690
Description: Lemma for rlimsqz 13691 and rlimsqz2 13692. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
rlimsqzlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
rlimsqzlem.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimsqzlem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimsqzlem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
rlimsqzlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, E    ph, x    x, M
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
32ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
42ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  RR )
5 elicopnf 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
z  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
76simprbda 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  z  e.  RR )
87adantrr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  e.  RR )
9 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
10 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
119, 10dmmptd 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
12 rlimss 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1411, 13eqsstr3d 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1514adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
186simplbda 628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  M  <_  z
)
1918adantrr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  z )
20 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  <_  x )
213, 8, 17, 19, 20letrd 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  x )
22 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2322anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <_ 
( abs `  ( B  -  D )
) )
2423adantllr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2521, 24syldan 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <_  ( abs `  ( B  -  D ) ) )
26 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
27 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  e.  CC )
2926, 28subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
3029abscld 13476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3130adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  e.  RR )
33 rlimcl 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  CC )
3610, 35subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  D )  e.  CC )
3736abscld 13476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
3837adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  e.  RR )
40 rpre 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4140ad3antlr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  y  e.  RR )
42 lelttr 9723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( C  -  E )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4332, 39, 41, 42syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4425, 43mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,) +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) )
4544expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
4645an32s 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
4746a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
4847ralimdva 2840 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
4948reximdva 2907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y
)  ->  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5049ralimdva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
5110ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
5251, 14, 34, 2rlim3 13540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )
) )
5326ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
5453, 14, 27, 2rlim3 13540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5550, 52, 543imtr4d 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
) )
561, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   +oocpnf 9671    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   RR+crp 11302   [,)cico 11637   abscabs 13276    ~~> r crli 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  rlimsqz  13691  rlimsqz2  13692  cxploglim2  23769  logfacrlim  24015  logexprlim  24016
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