Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimrege0 Structured version   Unicode version

Theorem rlimrege0 13414
 Description: The limit of a sequence of complex numbers with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1
rlimcld2.2
rlimrege0.4
rlimrege0.5
Assertion
Ref Expression
rlimrege0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rlimrege0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . . 3
2 rlimcld2.2 . . 3
3 ssrab2 3581 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eldifi 3622 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
76recld 13039 . . . . 5
87renegcld 10007 . . . 4
9 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11
109breq2d 4468 . . . . . . . . . 10
1110notbid 294 . . . . . . . . 9
12 notrab 3782 . . . . . . . . 9
1311, 12elrab2 3259 . . . . . . . 8
1413simprbi 464 . . . . . . 7
1514adantl 466 . . . . . 6
16 0re 9613 . . . . . . 7
17 ltnle 9681 . . . . . . 7
187, 16, 17sylancl 662 . . . . . 6
1915, 18mpbird 232 . . . . 5
207lt0neg1d 10143 . . . . 5
2119, 20mpbid 210 . . . 4
228, 21elrpd 11279 . . 3
238adantr 465 . . . 4
24 elrabi 3254 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
266adantr 465 . . . . . 6
2725, 26subcld 9950 . . . . 5
2827recld 13039 . . . 4
2927abscld 13279 . . . 4
30 0red 9614 . . . . . 6
3125recld 13039 . . . . . 6
3226recld 13039 . . . . . 6
33 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10
3433breq2d 4468 . . . . . . . . 9
3534elrab 3257 . . . . . . . 8
3635simprbi 464 . . . . . . 7
3736adantl 466 . . . . . 6
3830, 31, 32, 37lesub1dd 10189 . . . . 5
39 df-neg 9827 . . . . . 6
4039a1i 11 . . . . 5
4125, 26resubd 13061 . . . . 5
4238, 40, 413brtr4d 4486 . . . 4
4327releabsd 13294 . . . 4
4423, 28, 29, 42, 43letrd 9756 . . 3
45 rlimrege0.4 . . . 4
46 rlimrege0.5 . . . 4
47 fveq2 5872 . . . . . 6
4847breq2d 4468 . . . . 5
4948elrab 3257 . . . 4
5045, 46, 49sylanbrc 664 . . 3
511, 2, 4, 22, 44, 50rlimcld2 13413 . 2
52 fveq2 5872 . . . . 5
5352breq2d 4468 . . . 4
5453elrab 3257 . . 3
5554simprbi 464 . 2
5651, 55syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811   cdif 3468   wss 3471   class class class wbr 4456   cmpt 4515  cfv 5594  (class class class)co 6296  csup 7918  cc 9507  cr 9508  cc0 9509   cpnf 9642  cxr 9644   clt 9645   cle 9646   cmin 9824  cneg 9825  cre 12942  cabs 13079   crli 13320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-rlim 13324 This theorem is referenced by:  rlimge0  13416
 Copyright terms: Public domain W3C validator