MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimrecl Structured version   Unicode version

Theorem rlimrecl 13622
Description: The limit of a real sequence is real. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimrecl.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimrecl  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimrecl
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
2 rlimcld2.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
3 ax-resscn 9595 . . 3  |-  RR  C_  CC
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
5 eldifi 3593 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( CC  \  RR )  ->  y  e.  CC )
65adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  y  e.  CC )
76imcld 13237 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( Im `  y )  e.  RR )
87recnd 9668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( Im `  y )  e.  CC )
9 eldifn 3594 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( CC  \  RR )  ->  -.  y  e.  RR )
109adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  -.  y  e.  RR )
11 reim0b 13161 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y  e.  RR  <->  ( Im `  y )  =  0 ) )
126, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( y  e.  RR  <->  ( Im `  y )  =  0 ) )
1312necon3bbid 2678 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( -.  y  e.  RR  <->  ( Im `  y )  =/=  0
) )
1410, 13mpbid 213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( Im `  y )  =/=  0
)
158, 14absrpcld 13488 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  ->  ( abs `  ( Im `  y
) )  e.  RR+ )
166adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
17 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
1817recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
1916, 18subcld 9985 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
y  -  z )  e.  CC )
20 absimle 13351 . . . 4  |-  ( ( y  -  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( y  -  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
y  -  z ) ) )
2119, 20syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  ( y  -  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
y  -  z ) ) )
2216, 18imsubd 13259 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
Im `  ( y  -  z ) )  =  ( ( Im
`  y )  -  ( Im `  z ) ) )
23 reim0 13160 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
Im `  z )  =  0 )
2423adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
Im `  z )  =  0 )
2524oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( Im `  y
)  -  ( Im
`  z ) )  =  ( ( Im
`  y )  - 
0 ) )
268adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
Im `  y )  e.  CC )
2726subid1d 9974 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( Im `  y
)  -  0 )  =  ( Im `  y ) )
2822, 25, 273eqtrrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  ( y  -  z
) ) )
2928fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  y ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( y  -  z ) ) ) )
3018, 16abssubd 13493 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
3121, 29, 303brtr4d 4456 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  RR ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  ( Im `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) ) )
32 rlimrecl.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
331, 2, 4, 15, 31, 32rlimcld2 13620 1  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    \ cdif 3439    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   Imcim 13140   abscabs 13276    ~~> r crli 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  rlimge0  13623  climrecl  13625  rlimle  13689  divsqrtsumo1  23774  mulog2sumlem1  24235
  Copyright terms: Public domain W3C validator