MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimre Structured version   Unicode version

Theorem rlimre 13458
Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimabs.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimre  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  ~~> r  ( Re `  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimre
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimabs.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
31, 2rlimmptrcl 13455 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimcl 13351 . . 3  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 ref 12970 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
7 ax-resscn 9482 . . . 4  |-  RR  C_  CC
8 fss 5664 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Re : CC --> CC )
96, 7, 8mp2an 670 . . 3  |-  Re : CC
--> CC
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  Re : CC --> CC )
11 recn2 13448 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Re `  z
)  -  ( Re
`  C ) ) )  <  x ) )
125, 11sylan 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Re `  z
)  -  ( Re
`  C ) ) )  <  x ) )
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 13437 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  ~~> r  ( Re `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1836   A.wral 2746   E.wrex 2747    C_ wss 3406   class class class wbr 4384    |-> cmpt 4442   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424    < clt 9561    - cmin 9740   RR+crp 11161   Recre 12955   abscabs 13092    ~~> r crli 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-rlim 13337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator