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Theorem rlimo1 13623
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  O(1) )

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 13508 . . . . . 6  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F : dom  F --> CC )
21ffvelrnda 5981 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
32ralrimiva 2779 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A. z  e.  dom  F ( F `
 z )  e.  CC )
4 1rp 11257 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
54a1i 11 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  1  e.  RR+ )
61feqmptd 5878 . . . . 5  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  =  ( z  e. 
dom  F  |->  ( F `
 z ) ) )
7 id 22 . . . . 5  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  ~~> r  A )
86, 7eqbrtrrd 4389 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  (
z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) )  ~~> r  A
)
93, 5, 8rlimi 13520 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 ) )
10 rlimcl 13510 . . . . . . . 8  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A  e.  CC )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
1211abscld 13441 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
13 peano2re 9757 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
152adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1611adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  A  e.  CC )
1715, 16abs2difd 13462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) ) )
1815abscld 13441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  e.  RR )
1912adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2018, 19resubcld 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  e.  RR )
2115, 16subcld 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  z )  -  A )  e.  CC )
2221abscld 13441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  e.  RR )
23 1red 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  1  e.  RR )
24 lelttr 9675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2520, 22, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2617, 25mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2718, 19, 23ltsubadd2d 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  z )
)  <  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
2826, 27sylibd 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
2914adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  RR )
30 ltle 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )
3118, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
3228, 31syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
3332imim2d 54 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A ) )  <  1 )  -> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ) )
3433ralimdva 2773 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 )  ->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
35 breq2 4370 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w 
<->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
3635imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
3736ralbidv 2804 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w )  <->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
3837rspcev 3125 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  w )
)
3914, 34, 38syl6an 547 . . . 4  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) ) )
4039reximdva 2839 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w ) ) )
419, 40mpd 15 . 2  |-  ( F  ~~> r  A  ->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) )
42 rlimss 13509 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  dom  F 
C_  RR )
43 elo12 13534 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  RR )  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w ) ) )
441, 42, 43syl2anc 665 . 2  |-  ( F  ~~> r  A  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) ) )
4541, 44mpbird 235 1  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3379   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   1c1 9491    + caddc 9493    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   RR+crp 11253   abscabs 13241    ~~> r crli 13492   O(1)co1 13493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-ico 11592  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-rlim 13496  df-o1 13497
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  13624  o1const  13626  chebbnd2  24257  chto1lb  24258  chpo1ub  24260  vmadivsum  24262  dchrvmasumlem2  24278  dchrisum0lem1  24296  dchrisum0lem2a  24297  mudivsum  24310  mulog2sumlem2  24315  vmalogdivsum2  24318  2vmadivsumlem  24320  selberglem2  24326  selberg2lem  24330  selberg4lem1  24340  pntrsumo1  24345  pntrlog2bndlem2  24358  pntrlog2bndlem4  24360  pntrlog2bndlem5  24361
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