MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimo1 Structured version   Unicode version

Theorem rlimo1 13115
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  O(1) )

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 13000 . . . . . 6  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F : dom  F --> CC )
21ffvelrnda 5864 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
32ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A. z  e.  dom  F ( F `
 z )  e.  CC )
4 1rp 11016 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
54a1i 11 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  1  e.  RR+ )
61feqmptd 5765 . . . . 5  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  =  ( z  e. 
dom  F  |->  ( F `
 z ) ) )
7 id 22 . . . . 5  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  ~~> r  A )
86, 7eqbrtrrd 4335 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  (
z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) )  ~~> r  A
)
93, 5, 8rlimi 13012 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 ) )
10 rlimcl 13002 . . . . . . . 8  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A  e.  CC )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
1211abscld 12943 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
13 peano2re 9563 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
152adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1611adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  A  e.  CC )
1715, 16abs2difd 12964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) ) )
1815abscld 12943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  e.  RR )
1912adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2018, 19resubcld 9797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  e.  RR )
2115, 16subcld 9740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  z )  -  A )  e.  CC )
2221abscld 12943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  e.  RR )
23 1red 9422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  1  e.  RR )
24 lelttr 9486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2520, 22, 23, 24syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
( ( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2617, 25mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  -  ( abs `  A ) )  <  1 ) )
2718, 19, 23ltsubadd2d 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
( abs `  ( F `  z )
)  -  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  z )
)  <  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
2826, 27sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
2914adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  RR )
30 ltle 9484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )
3118, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
3228, 31syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
3332imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  A ) )  <  1 )  -> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ) )
3433ralimdva 2815 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 )  ->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
35 breq2 4317 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w 
<->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
3635imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
3736ralbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( abs `  A )  +  1 )  ->  ( A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w )  <->  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
3837rspcev 3094 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  w )
)
3914, 34, 38syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( F  ~~> r  A  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  A ) )  <  1 )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) ) )
4039reximdva 2849 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  A ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w ) ) )
419, 40mpd 15 . 2  |-  ( F  ~~> r  A  ->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) )
42 rlimss 13001 . . 3  |-  ( F  ~~> r  A  ->  dom  F 
C_  RR )
43 elo12 13026 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  RR )  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  w ) ) )
441, 42, 43syl2anc 661 . 2  |-  ( F  ~~> r  A  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  w ) ) )
4541, 44mpbird 232 1  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   RR+crp 11012   abscabs 12744    ~~> r crli 12984   O(1)co1 12985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-ico 11327  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-rlim 12988  df-o1 12989
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  13116  o1const  13118  chebbnd2  22748  chto1lb  22749  chpo1ub  22751  vmadivsum  22753  dchrvmasumlem2  22769  dchrisum0lem1  22787  dchrisum0lem2a  22788  mudivsum  22801  mulog2sumlem2  22806  vmalogdivsum2  22809  2vmadivsumlem  22811  selberglem2  22817  selberg2lem  22821  selberg4lem1  22831  pntrsumo1  22836  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852
  Copyright terms: Public domain W3C validator