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Theorem rlimno1 13242
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimno1.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
rlimno1.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimno1.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimno1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1377 . . . 4  |-  -. F.
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
42, 3reccld 10204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
54ralrimiva 2825 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B
)  e.  CC )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B )  e.  CC )
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
8 1re 9489 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
9 ifcl 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
y ,  y ,  1 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
11 1rp 11099 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR+ )
13 max1 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
148, 7, 13sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
1510, 12, 14rpgecld 11166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
1615rpreccld 11141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR+ )
17 rlimno1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0 )
196, 16, 18rlimi 13102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
20 dmmptg 5436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
1  /  B )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  =  A )
215, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  =  A )
22 rlimss 13091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  C_  RR )
2317, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  C_  RR )
2421, 23eqsstr3d 3492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
26 rexanre 12945 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
29 ressxr 9531 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
3024, 29syl6ss 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
31 supxrunb1 11386 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x
)
35 r19.29 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
36 r19.29r 2957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  (
( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
383adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
3937, 38absrpcld 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  RR )
43 0le1 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  0  <_  1 )
4540rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
467ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
4710ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  y
)
49 max2 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
508, 46, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5145, 46, 47, 48, 50letrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5240, 41, 42, 44, 51lediv2ad 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <_  ( 1  / 
( abs `  B
) ) )
5341rprecred 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR )
5440rprecred 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  e.  RR )
5553, 54lenltd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) )  <_  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
5652, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
5737adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  e.  CC )
5838adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  =/=  0 )
5957, 58reccld 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  B )  e.  CC )
6059subid1d 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  B )  -  0 )  =  ( 1  /  B
) )
6160fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( 1  /  B ) ) )
6242recnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  CC )
6362, 57, 58absdivd 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( 1  /  B
) )  =  ( ( abs `  1
)  /  ( abs `  B ) ) )
6442, 44absidd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  1 )  =  1 )
6564oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  1 )  / 
( abs `  B
) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6661, 63, 653eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6766breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <  (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) ) ) )
6856, 67mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
6968pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  -> F.  ) )
7069expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  B
)  <_  y  /\  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  -> F.  ) )
7170ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )  -> F.  ) )
7271imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  ( c  <_  x  -> F.  )
) )
7372com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
c  <_  x  ->  ( ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  -> F.  )
) )
7473impd 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7574rexlimdva 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7636, 75syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7776rexlimdvw 2943 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7835, 77syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  -> F.  ) )
7934, 78mpand 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  -> F.  )
)
8027, 79sylbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )  -> F.  ) )
8119, 80mpand 675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y )  -> F.  ) )
821, 81mtoi 178 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -.  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
) )
8382nrexdv 2918 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
)
8424, 2elo1mpt 13123 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
85 rexcom 2981 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )
8684, 85syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
8783, 86mtbird 301 1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   F. wfal 1375    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   ifcif 3892   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supcsup 7794   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   +oocpnf 9519   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   RR+crp 11095   abscabs 12834    ~~> r crli 13074   O(1)co1 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-ico 11410  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-rlim 13078  df-o1 13079  df-lo1 13080
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