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Theorem rlimno1 13123
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimno1.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
rlimno1.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimno1.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimno1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1376 . . . 4  |-  -. F.
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
42, 3reccld 10092 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
54ralrimiva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B
)  e.  CC )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B )  e.  CC )
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
8 1re 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
9 ifcl 3826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
y ,  y ,  1 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
11 1rp 10987 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR+ )
13 max1 11149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
148, 7, 13sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
1510, 12, 14rpgecld 11054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
1615rpreccld 11029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR+ )
17 rlimno1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0 )
196, 16, 18rlimi 12983 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
20 dmmptg 5330 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
1  /  B )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  =  A )
215, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  =  A )
22 rlimss 12972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  C_  RR )
2317, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  C_  RR )
2421, 23eqsstr3d 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
26 rexanre 12826 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
29 ressxr 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
3024, 29syl6ss 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
31 supxrunb1 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x
)
35 r19.29 2852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
36 r19.29r 2853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  (
( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
383adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
3937, 38absrpcld 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  RR )
43 0le1 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  0  <_  1 )
4540rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
467ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
4710ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  y
)
49 max2 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
508, 46, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5145, 46, 47, 48, 50letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5240, 41, 42, 44, 51lediv2ad 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <_  ( 1  / 
( abs `  B
) ) )
5341rprecred 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR )
5440rprecred 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  e.  RR )
5553, 54lenltd 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) )  <_  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
5652, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
5737adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  e.  CC )
5838adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  =/=  0 )
5957, 58reccld 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  B )  e.  CC )
6059subid1d 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  B )  -  0 )  =  ( 1  /  B
) )
6160fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( 1  /  B ) ) )
6242recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  CC )
6362, 57, 58absdivd 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( 1  /  B
) )  =  ( ( abs `  1
)  /  ( abs `  B ) ) )
6442, 44absidd 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  1 )  =  1 )
6564oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  1 )  / 
( abs `  B
) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6661, 63, 653eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6766breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <  (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) ) ) )
6856, 67mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
6968pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  -> F.  ) )
7069expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  B
)  <_  y  /\  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  -> F.  ) )
7170ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )  -> F.  ) )
7271imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  ( c  <_  x  -> F.  )
) )
7372com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
c  <_  x  ->  ( ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  -> F.  )
) )
7473impd 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7574rexlimdva 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7636, 75syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7776rexlimdvw 2839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  -> F.  ) )
7835, 77syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  -> F.  ) )
7934, 78mpand 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  -> F.  )
)
8027, 79sylbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )  -> F.  ) )
8119, 80mpand 675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y )  -> F.  ) )
821, 81mtoi 178 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -.  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
) )
8382nrexdv 2814 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
)
8424, 2elo1mpt 13004 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
85 rexcom 2877 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )
8684, 85syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
8783, 86mtbird 301 1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   F. wfal 1374    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   RR+crp 10983   abscabs 12715    ~~> r crli 12955   O(1)co1 12956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ico 11298  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961
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