MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimneg Structured version   Unicode version

Theorem rlimneg 13116
Description: Limit of the negative of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimneg.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimneg.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimneg  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |-> 
-u B )  ~~> r  -u C )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimneg
StepHypRef Expression
1 0cnd 9371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
2 rlimneg.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
3 rlimneg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
42, 3rlimmptrcl 13077 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
52ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5330 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
k  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  =  A )
8 rlimss 12972 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  C_  RR )
93, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
11 0cn 9370 . . . 4  |-  0  e.  CC
12 rlimconst 13014 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
k  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
1310, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
141, 4, 13, 3rlimsub 13113 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( 0  -  B
) )  ~~> r  ( 0  -  C ) )
15 df-neg 9590 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
1615mpteq2i 4370 . 2  |-  ( k  e.  A  |->  -u B
)  =  ( k  e.  A  |->  ( 0  -  B ) )
17 df-neg 9590 . 2  |-  -u C  =  ( 0  -  C )
1814, 16, 173brtr4g 4319 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |-> 
-u B )  ~~> r  -u C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    - cmin 9587   -ucneg 9588    ~~> r crli 12955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rlim 12959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator