MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Structured version   Unicode version

Theorem rlimi2 12991
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
rlimi.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
rlimi.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimi.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimi2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B    y, C, z    ph, y    y, R, z    y, D, z   
z, V
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    V( y)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
2 rlimi.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3 rlimi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
41, 2, 3rlimi 12990 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) )
5 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
65fnmpt 5536 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  V  ->  ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A )
7 fndm 5509 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
81, 6, 73syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 12979 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
103, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3390 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
13 rexico 12840 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  R
) ) )
1411, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
154, 14mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3327   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   dom cdm 4839    Fn wfn 5412   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   +oocpnf 9414    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   RR+crp 10990   [,)cico 11301   abscabs 12722    ~~> r crli 12962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-ico 11305  df-rlim 12966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator