Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdm Structured version   Unicode version

Theorem rlimdm 13593
 Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function "). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
Assertion
Ref Expression
rlimdm

Proof of Theorem rlimdm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5050 . . . 4
21ibi 244 . . 3
3 simpr 462 . . . . . 6
4 df-fv 5609 . . . . . . 7
5 vex 3090 . . . . . . . 8
6 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . 14
76adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
8 rlimuni.2 . . . . . . . . . . . . . 14
98adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
10 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13
11 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13
127, 9, 10, 11rlimuni 13592 . . . . . . . . . . . 12
1312expr 618 . . . . . . . . . . 11
14 breq2 4430 . . . . . . . . . . . 12
153, 14syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . 11
1613, 15impbid 193 . . . . . . . . . 10
1716adantr 466 . . . . . . . . 9
1817iota5 5585 . . . . . . . 8
195, 18mpan2 675 . . . . . . 7
204, 19syl5eq 2482 . . . . . 6
213, 20breqtrrd 4452 . . . . 5
2221ex 435 . . . 4
2322exlimdv 1771 . . 3
242, 23syl5 33 . 2
25 rlimrel 13535 . . 3
2625releldmi 5091 . 2
2724, 26impbid1 206 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870  cvv 3087   class class class wbr 4426   cdm 4854  cio 5563  wf 5597  cfv 5601  csup 7960  cc 9536   cpnf 9671  cxr 9673   clt 9674   crli 13527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-rlim 13531 This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  13718  caucvg  13723  dchrisum0lem3  24220
 Copyright terms: Public domain W3C validator