MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimconst Unicode version

Theorem rlimconst 12293
Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimconst  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem rlimconst
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
32subidd 9355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  -  B )  =  0 )
43fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  =  ( abs `  0 ) )
5 abs0 12045 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  =  0 )
7 rpgt0 10579 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
87ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <  y )
96, 8eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( abs `  ( B  -  B
) )  <  y
)
109a1d 23 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A
)  ->  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  < 
y ) )
1110ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
)
12 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  x  <->  0  <_  x ) )
1312imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )  <->  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) ) )
1413ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( z  =  0  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )  <->  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) ) )
1514rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( 0  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )
161, 11, 15sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B ) )  <  y ) )
1716ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
)
18 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
1918ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
20 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
21 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2219, 20, 21rlim2 12245 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  B )
)  <  y )
) )
2317, 22mpbird 224 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   RR+crp 10568   abscabs 11994    ~~> r crli 12234
This theorem is referenced by:  o1const  12368  rlimneg  12395  caucvgr  12424  fsumrlim  12545  dvfsumrlimge0  19867  dvfsumrlim2  19869  logexprlim  20962  chebbnd2  21124  chto1lb  21125  chpchtlim  21126  dchrisum0lem1  21163  selberglem2  21193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rlim 12238
  Copyright terms: Public domain W3C validator