Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rlimcnp2 23971
 Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a
rlimcnp2.0
rlimcnp2.b
rlimcnp2.c
rlimcnp2.r
rlimcnp2.d
rlimcnp2.s
rlimcnp2.j fld
rlimcnp2.k t
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3643 . . . . . . . 8
2 resmpt 5160 . . . . . . . 8
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7
4 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
5 0lt1 10157 . . . . . . . . . . 11
6 df-ioo 11664 . . . . . . . . . . . 12
7 df-ico 11666 . . . . . . . . . . . 12
8 xrltletr 11477 . . . . . . . . . . . 12
96, 7, 8ixxss1 11678 . . . . . . . . . . 11
104, 5, 9mp2an 686 . . . . . . . . . 10
11 ioorp 11737 . . . . . . . . . 10
1210, 11sseqtri 3450 . . . . . . . . 9
13 sslin 3649 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 resmpt 5160 . . . . . . . 8
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7
173, 16eqtr4d 2508 . . . . . 6
18 resres 5123 . . . . . 6
19 resres 5123 . . . . . 6
2017, 18, 193eqtr4g 2530 . . . . 5
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9
22 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . 8
24 ffn 5739 . . . . . . . 8
2523, 24syl 17 . . . . . . 7
26 fnresdm 5695 . . . . . . 7
2725, 26syl 17 . . . . . 6
2827reseq1d 5110 . . . . 5
29 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11
3029sseli 3414 . . . . . . . . . 10
3130, 21sylan2 482 . . . . . . . . 9
32 eqid 2471 . . . . . . . . 9
3331, 32fmptd 6061 . . . . . . . 8
34 frel 5744 . . . . . . . 8
3533, 34syl 17 . . . . . . 7
3632, 31dmmptd 5718 . . . . . . . 8
3736, 29syl6eqss 3468 . . . . . . 7
38 relssres 5148 . . . . . . 7
3935, 37, 38syl2anc 673 . . . . . 6
4039reseq1d 5110 . . . . 5
4120, 28, 403eqtr3d 2513 . . . 4
4241breq1d 4405 . . 3
43 rlimcnp2.b . . . 4
44 1red 9676 . . . 4
4523, 43, 44rlimresb 13706 . . 3
4629, 43syl5ss 3429 . . . 4
4733, 46, 44rlimresb 13706 . . 3
4842, 45, 473bitr4d 293 . 2
49 inss2 3644 . . . . . . . . . . 11
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10
5150sselda 3418 . . . . . . . . 9
5251rpreccld 11374 . . . . . . . 8
5352rpne0d 11369 . . . . . . 7
5453neneqd 2648 . . . . . 6
5554iffalsed 3883 . . . . 5
56 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
57 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . 11
58 recrec 10326 . . . . . . . . . . 11
5951, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . 10
6056, 59sylan9eqr 2527 . . . . . . . . 9
6160eqcomd 2477 . . . . . . . 8
62 rlimcnp2.s . . . . . . . 8
6361, 62syl 17 . . . . . . 7
6463eqcomd 2477 . . . . . 6
6552, 64csbied 3376 . . . . 5
6655, 65eqtrd 2505 . . . 4
6766mpteq2dva 4482 . . 3
6867breq1d 4405 . 2
69 rlimcnp2.a . . . 4
70 rlimcnp2.0 . . . 4
71 rlimcnp2.c . . . . . 6
7271ad2antrr 740 . . . . 5
7369sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
74 0re 9661 . . . . . . . . . . . . 13
75 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . 13
76 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . 13
7774, 75, 76mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12
7873, 77sylib 201 . . . . . . . . . . 11
7978simp1d 1042 . . . . . . . . . 10
8079adantr 472 . . . . . . . . 9
8178simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14
82 leloe 9738 . . . . . . . . . . . . . . 15
8374, 79, 82sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
8584ord 384 . . . . . . . . . . . 12
86 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . 12
8785, 86syl6ib 234 . . . . . . . . . . 11
8887con1d 129 . . . . . . . . . 10
8988imp 436 . . . . . . . . 9
9080, 89elrpd 11361 . . . . . . . 8
91 rpcnne0 11342 . . . . . . . . 9
92 recrec 10326 . . . . . . . . 9
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8
9490, 93syl 17 . . . . . . 7
9594csbeq1d 3356 . . . . . 6
96 simplr 770 . . . . . . . . 9
97 simpll 768 . . . . . . . . . 10
98 rpreccl 11349 . . . . . . . . . . . . 13
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
100 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14
101100ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
103 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
104 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
106103, 105bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . 13
107106rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12
10899, 102, 107sylc 61 . . . . . . . . . . 11
10993adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
110109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
111108, 110bitr2d 262 . . . . . . . . . 10
11297, 90, 111syl2anc 673 . . . . . . . . 9
11396, 112mpbid 215 . . . . . . . 8
11490rpreccld 11374 . . . . . . . 8
115113, 114elind 3609 . . . . . . 7
11665, 31eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
117116ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
118117ad2antrr 740 . . . . . . 7
119104csbeq1d 3356 . . . . . . . . 9
120119eleq1d 2533 . . . . . . . 8
121120rspcv 3132 . . . . . . 7
122115, 118, 121sylc 61 . . . . . 6
12395, 122eqeltrrd 2550 . . . . 5
12472, 123ifclda 3904 . . . 4
12599biantrud 515 . . . . . 6
126111, 125bitrd 261 . . . . 5
127 elin 3608 . . . . 5
128126, 127syl6bbr 271 . . . 4
129 iftrue 3878 . . . 4
130 eqeq1 2475 . . . . 5
131 csbeq1 3352 . . . . 5
132130, 131ifbieq2d 3897 . . . 4
133 rlimcnp2.j . . . 4 fld
134 rlimcnp2.k . . . 4 t
13569, 70, 50, 124, 128, 129, 132, 133, 134rlimcnp 23970 . . 3
136 nfcv 2612 . . . . 5
137 nfv 1769 . . . . . 6
138 nfcv 2612 . . . . . 6
139 nfcsb1v 3365 . . . . . 6
140137, 138, 139nfif 3901 . . . . 5
141 eqeq1 2475 . . . . . 6
142 csbeq1a 3358 . . . . . 6
143141, 142ifbieq2d 3897 . . . . 5
144136, 140, 143cbvmpt 4487 . . . 4
145144eleq1i 2540 . . 3
146135, 145syl6bbr 271 . 2
14748, 68, 1463bitr2d 289 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  csb 3349   cin 3389   wss 3390  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841   wrel 4844   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  crp 11325  cioo 11660  cico 11662   crli 13626   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   ccnp 20318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rlim 13630  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cnp 20321 This theorem is referenced by:  rlimcnp3  23972
 Copyright terms: Public domain W3C validator