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Theorem rlimcn1 13493
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1.1  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
rlimcn1.2  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
rlimcn1.3  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
rlimcn1.4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
rlimcn1.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcn1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, z, F, y   
x, G, y, z    ph, x, y    x, C, y, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    X( x, y)

Proof of Theorem rlimcn1
Dummy variables  w  c  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
21ffvelrnda 6007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
31feqmptd 5901 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  A  |->  ( G `
 w ) ) )
4 rlimcn1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
54feqmptd 5901 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( v  e.  X  |->  ( F `
 v ) ) )
6 fveq2 5848 . . 3  |-  ( v  =  ( G `  w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
72, 3, 5, 6fmptco 6040 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )
8 rlimcn1.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
9 fvex 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 w )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w
)  e.  _V )
1110ralrimiva 2868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  A  ( G `  w )  e.  _V )
12 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
13 rlimcn1.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~> r  C )
143, 13eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( G `  w
) )  ~~> r  C
)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  A  |->  ( G `  w ) )  ~~> r  C )
1611, 12, 15rlimi 13418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y ) )
17 simpll 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ph )
1817, 2sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  ( G `  w )  e.  X )
19 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
) )
20 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
z  -  C )  =  ( ( G `
 w )  -  C ) )
2120fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) ) )
2221breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y
) )
23 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  w ) ) )
2423oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( G `  w ) )  -  ( F `  C ) ) )
2524fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) ) )
2625breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  w ) )  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
2722, 26imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( G `  w )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2827rspcv 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  w )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  w )  -  C
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
2918, 19, 28sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3029imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3130ralimdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
3231reximdv 2928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3332expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  ( E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  C ) )  <  y )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) ) )
3416, 33mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  C ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) ) )
3534rexlimdva 2946 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  C ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
) )  <  x
)  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
368, 35mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) )
3736ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  (
c  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 w ) )  -  ( F `  C ) ) )  <  x ) )
384ffvelrnda 6007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( G `  w
) )  e.  CC )
392, 38syldan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  w ) )  e.  CC )
4039ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( F `  ( G `
 w ) )  e.  CC )
41 fdm 5717 . . . . . 6  |-  ( G : A --> X  ->  dom  G  =  A )
421, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
43 rlimss 13407 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> r  C  ->  dom  G 
C_  RR )
4413, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  RR )
4542, 44eqsstr3d 3524 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
46 rlimcn1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
474, 46ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4840, 45, 47rlim2 13401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w ) ) )  ~~> r  ( F `  C )  <->  A. x  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. w  e.  A  ( c  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  ( G `  w )
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  x ) ) )
4937, 48mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( G `  w )
) )  ~~> r  ( F `  C ) )
507, 49eqbrtrd 4459 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  ~~> r  ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   RR+crp 11221   abscabs 13149    ~~> r crli 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-pm 7415  df-rlim 13394
This theorem is referenced by:  rlimcn1b  13494  rlimdiv  13550
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