Theorem rlimclim1 13023

Description: Forward direction of rlimclim 13024. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
rlimclim1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
rlimclim1.3	|- ( ph -> F ~~> r A )
rlimclim1.4	|- ( ph -> Z C_ dom F )

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	|- ( ph -> F ~~> A )

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( F ` w ) e. _V
2	1	rgenw 2783	. . . . . 6 |- A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V )
4		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ~~> r A )
6		rlimf 12979	. . . . . . . . 9 |- ( F ~~> r A -> F : dom F --> CC )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
8	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : dom F --> CC )
9	8	feqmptd 5744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F = ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) )
10	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> r A )
11	9, 10	eqbrtrrd 4314	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) ~~> r A )
12	3, 4, 11	rlimi 12991	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. ZZ )
15		flcl 11645	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( |_ ` z ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 10750	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
17	16	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
18		ifcl 3831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
19	17, 14, 18	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
20	14	zred 10747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. RR )
21	17	zred 10747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
22		max1 11157	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
24		eluz2 10867	. . . . . . 7 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
25	14, 19, 23, 24	syl3anbrc 1172	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
26		rlimclim1.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27	25, 26	syl6eleqr 2534	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z )
28		rlimclim1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z C_ dom F )
29	28	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> Z C_ dom F )
30	26	uztrn2 10878	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
31	27, 30	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
32	29, 31	sseldd 3357	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. dom F )
33		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
34		simplrl 759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z e. RR )
35	16	zred 10747	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
37	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> M e. RR )
38		ifcl 3831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR /\ M e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
39	36, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
40		eluzelre 10871	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> k e. RR )
41	40	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. RR )
42		fllep1 11651	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
43	34, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
44		max2 11159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
45	37, 36, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
46	34, 36, 39, 43, 45	letrd 9528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
47		eluzle 10873	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
48	47	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
49	34, 39, 41, 46, 48	letrd 9528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ k )
50		breq2 4296	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( z <_ w <-> z <_ k ) )
51		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
52	51	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) - A ) = ( ( F ` k ) - A ) )
53	52	fveq2d 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
54	53	breq1d 4302	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
55	50, 54	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) <-> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
56	55	rspcv 3069	. . . . . . 7 |- ( k e. dom F -> ( A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) -> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
57	32, 33, 49, 56	syl3c 61	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
58	57	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
59		fveq2 5691	. . . . . . 7 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
60	59	raleqdv 2923	. . . . . 6 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
61	60	rspcev 3073	. . . . 5 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
62	27, 58, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
63	12, 62	rexlimddv 2845	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
64	63	ralrimiva 2799	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
65		rlimpm 12978	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> F e. ( CC ^pm RR ) )
66	5, 65	syl 16	. . 3 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
67		eqidd 2444	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
68		rlimcl 12981	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> A e. CC )
69	5, 68	syl 16	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
70	28	sselda 3356	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
71	7	ffvelrnda 5843	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	70, 71	syldan 470	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
73	26, 13, 66, 67, 69, 72	clim2c 12983	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
74	64, 73	mpbird 232	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ^pm cpm 7215   CCcc 9280   RRcr 9281   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   |_cfl 11640   abscabs 12723   ~~> cli 12962   ~~> r crli 12963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fl 11642  df-clim 12966  df-rlim 12967

This theorem is referenced by:  rlimclim  13024  dchrisumlema  22737