Theorem rlimclim1 13334

Description: Forward direction of rlimclim 13335. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
rlimclim1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
rlimclim1.3	|- ( ph -> F ~~> r A )
rlimclim1.4	|- ( ph -> Z C_ dom F )

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	|- ( ph -> F ~~> A )

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( F ` w ) e. _V
2	1	rgenw 2825	. . . . . 6 |- A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V )
4		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ~~> r A )
6		rlimf 13290	. . . . . . . . 9 |- ( F ~~> r A -> F : dom F --> CC )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
8	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : dom F --> CC )
9	8	feqmptd 5921	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F = ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) )
10	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> r A )
11	9, 10	eqbrtrrd 4469	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) ~~> r A )
12	3, 4, 11	rlimi 13302	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. ZZ )
15		flcl 11901	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( |_ ` z ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 10970	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
17	16	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
18		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
19	17, 14, 18	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
20	14	zred 10967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. RR )
21	17	zred 10967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
22		max1 11387	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
24		eluz2 11089	. . . . . . 7 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
25	14, 19, 23, 24	syl3anbrc 1180	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
26		rlimclim1.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27	25, 26	syl6eleqr 2566	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z )
28		rlimclim1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z C_ dom F )
29	28	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> Z C_ dom F )
30	26	uztrn2 11100	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
31	27, 30	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
32	29, 31	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. dom F )
33		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
34		simplrl 759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z e. RR )
35	16	zred 10967	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
37	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> M e. RR )
38		ifcl 3981	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR /\ M e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
39	36, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
40		eluzelre 11093	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> k e. RR )
41	40	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. RR )
42		fllep1 11907	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
43	34, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
44		max2 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
45	37, 36, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
46	34, 36, 39, 43, 45	letrd 9739	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
47		eluzle 11095	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
48	47	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
49	34, 39, 41, 46, 48	letrd 9739	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ k )
50		breq2 4451	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( z <_ w <-> z <_ k ) )
51		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
52	51	oveq1d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) - A ) = ( ( F ` k ) - A ) )
53	52	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
54	53	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
55	50, 54	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) <-> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
56	55	rspcv 3210	. . . . . . 7 |- ( k e. dom F -> ( A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) -> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
57	32, 33, 49, 56	syl3c 61	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
58	57	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
59		fveq2 5866	. . . . . . 7 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
60	59	raleqdv 3064	. . . . . 6 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
61	60	rspcev 3214	. . . . 5 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
62	27, 58, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
63	12, 62	rexlimddv 2959	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
64	63	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
65		rlimpm 13289	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> F e. ( CC ^pm RR ) )
66	5, 65	syl 16	. . 3 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
67		eqidd 2468	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
68		rlimcl 13292	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> A e. CC )
69	5, 68	syl 16	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
70	28	sselda 3504	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
71	7	ffvelrnda 6022	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. CC )
72	70, 71	syldan 470	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
73	26, 13, 66, 67, 69, 72	clim2c 13294	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
74	64, 73	mpbird 232	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ^pm cpm 7422   CCcc 9491   RRcr 9492   1c1 9494   + caddc 9496   < clt 9629   <_ cle 9630   - cmin 9806   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   RR+crp 11221   |_cfl 11896   abscabs 13033   ~~> cli 13273   ~~> r crli 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fl 11898  df-clim 13277  df-rlim 13278

This theorem is referenced by:  rlimclim  13335  dchrisumlema  23498