Theorem rlimclim1 13686

Description: Forward direction of rlimclim 13687. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
rlimclim1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
rlimclim1.3	|- ( ph -> F ~~> r A )
rlimclim1.4	|- ( ph -> Z C_ dom F )

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	|- ( ph -> F ~~> A )

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables j k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5889	. . . . . . 7 |- ( F ` w ) e. _V
2	1	rgenw 2768	. . . . . 6 |- A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. w e. dom F ( F ` w ) e. _V )
4		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ~~> r A )
6		rlimf 13642	. . . . . . . . 9 |- ( F ~~> r A -> F : dom F --> CC )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
8	7	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : dom F --> CC )
9	8	feqmptd 5932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F = ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) )
10	5	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F ~~> r A )
11	9, 10	eqbrtrrd 4418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( w e. dom F |-> ( F ` w ) ) ~~> r A )
12	3, 4, 11	rlimi 13654	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	13	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. ZZ )
15		flcl 12064	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( |_ ` z ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 11066	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
17	16	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. ZZ )
18	17, 14	ifcld 3915	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
19	14	zred 11063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M e. RR )
20	17	zred 11063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
21		max1 11503	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
23		eluz2 11188	. . . . . . 7 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1214	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
26	24, 25	syl6eleqr 2560	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z )
27		rlimclim1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z C_ dom F )
28	27	ad3antrrr 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> Z C_ dom F )
29	25	uztrn2 11200	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
30	26, 29	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. Z )
31	28, 30	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. dom F )
32		simplrr 779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) )
33		simplrl 778	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z e. RR )
34	16	zred 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR )
36	19	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> M e. RR )
37	35, 36	ifcld 3915	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. RR )
38		eluzelre 11193	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> k e. RR )
39	38	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> k e. RR )
40		fllep1 12070	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) )
42		max2 11505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` z ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
43	36, 35, 42	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( ( |_ ` z ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
44	33, 35, 37, 41, 43	letrd 9809	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) )
45		eluzle 11195	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
46	45	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) <_ k )
47	33, 37, 39, 44, 46	letrd 9809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> z <_ k )
48		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( z <_ w <-> z <_ k ) )
49		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
50	49	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) - A ) = ( ( F ` k ) - A ) )
51	50	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( w = k -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
52	51	breq1d 4405	. . . . . . . . 9 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
53	48, 52	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) <-> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
54	53	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( k e. dom F -> ( A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) -> ( z <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) ) )
55	31, 32, 47, 54	syl3c 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
56	55	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
57		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) )
58	57	raleqdv 2979	. . . . . 6 |- ( j = if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
59	58	rspcev 3136	. . . . 5 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( ( |_ ` z ) + 1 ) , ( ( |_ ` z ) + 1 ) , M ) ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
60	26, 56, 59	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. RR /\ A. w e. dom F ( z <_ w -> ( abs ` ( ( F ` w ) - A ) ) < y ) ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
61	12, 60	rexlimddv 2875	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
62	61	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y )
63		rlimpm 13641	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> F e. ( CC ^pm RR ) )
64	5, 63	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
65		eqidd 2472	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
66		rlimcl 13644	. . . 4 |- ( F ~~> r A -> A e. CC )
67	5, 66	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
68	27	sselda 3418	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. dom F )
69	7	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. CC )
70	68, 69	syldan 478	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
71	25, 13, 64, 65, 67, 70	clim2c 13646	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < y ) )
72	62, 71	mpbird 240	1 |- ( ph -> F ~~> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^pm cpm 7491   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   |_cfl 12059   abscabs 13374   ~~> cli 13625   ~~> r crli 13626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fl 12061  df-clim 13629  df-rlim 13630

This theorem is referenced by:  rlimclim  13687  dchrisumlema  24405