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Theorem rlimclim1 13344
Description: Forward direction of rlimclim 13345. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
rlimclim1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
rlimclim1.3  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
rlimclim1.4  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
Assertion
Ref Expression
rlimclim1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables  j 
k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5863 . . . . . . 7  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
21rgenw 2802 . . . . . 6  |-  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A. w  e.  dom  F ( F `
 w )  e. 
_V )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  ~~> r  A )
6 rlimf 13300 . . . . . . . . 9  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F : dom  F --> CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : dom  F --> CC )
98feqmptd 5908 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  =  ( w  e.  dom  F 
|->  ( F `  w
) ) )
105adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~> r  A
)
119, 10eqbrtrrd 4456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  dom  F  |->  ( F `
 w ) )  ~~> r  A )
123, 4, 11rlimi 13312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
13 rlimclim1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
15 flcl 11908 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( |_ `  z )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  ZZ )
1817, 14ifcld 3966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
1914zred 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  e.  RR )
2017zred 10971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
21 max1 11392 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
23 eluz2 11093 . . . . . . 7  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) ) )
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1179 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
25 rlimclim1.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2624, 25syl6eleqr 2540 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
27 rlimclim1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  C_  dom  F )
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  Z  C_  dom  F )
2925uztrn2 11104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3026, 29sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
3128, 30sseldd 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
32 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y ) )
33 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  e.  RR )
3416zred 10971 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( |_ `  z
)  +  1 )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )
3619adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
3735, 36ifcld 3966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
38 eluzelre 11097 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
40 fllep1 11914 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) )
4133, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) )
42 max2 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  z )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4336, 35, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( ( |_ `  z )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )
4433, 35, 37, 41, 43letrd 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  z
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  M
) )
45 eluzle 11099 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4645adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
4733, 37, 39, 44, 46letrd 9739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  z  <_  k )
48 breq2 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
z  <_  w  <->  z  <_  k ) )
49 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
5049oveq1d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
)  -  A )  =  ( ( F `
 k )  -  A ) )
5150fveq2d 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) ) )
5251breq1d 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
) )
5348, 52imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  k  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) ) )
5453rspcv 3190 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  dom  F  -> 
( A. w  e. 
dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  A ) )  < 
y )  ->  (
z  <_  k  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y ) ) )
5531, 32, 47, 54syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR  /\ 
A. w  e.  dom  F ( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
5655ralrimiva 2855 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
57 fveq2 5853 . . . . . . 7  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  j )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M ) ) )
5857raleqdv 3044 . . . . . 6  |-  ( j  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
5958rspcev 3194 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  z )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  z
)  +  1 ) ,  M ) ) ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  y )
6026, 56, 59syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  RR  /\  A. w  e.  dom  F
( z  <_  w  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  A ) )  <  y ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6112, 60rexlimddv 2937 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y )
6261ralrimiva 2855 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  y
)
63 rlimpm 13299 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
645, 63syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
65 eqidd 2442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
66 rlimcl 13302 . . . 4  |-  ( F  ~~> r  A  ->  A  e.  CC )
675, 66syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6827sselda 3487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
697ffvelrnda 6013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7068, 69syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7125, 13, 64, 65, 67, 70clim2c 13304 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
7262, 71mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3459   ifcif 3923   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   dom cdm 4986   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    ^pm cpm 7420   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807   ZZcz 10867   ZZ>=cuz 11087   RR+crp 11226   |_cfl 11903   abscabs 13043    ~~> cli 13283    ~~> r crli 13284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fl 11905  df-clim 13287  df-rlim 13288
This theorem is referenced by:  rlimclim  13345  dchrisumlema  23542
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