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Theorem rlimcld2 13357
Description: If  D is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in  D, then the limit of the sequence also lies in 
D. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimcld2.3  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
rlimcld2.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
rlimcld2.5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
rlimcld2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
rlimcld2  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    x, C, y, z    ph, x, y, z    x, D, y, z    x, R, z
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
21ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C )
6 rlimcl 13282 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  CC )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  C  e.  D )
97, 8eldifd 3487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  ( CC  \  D
) )
10 rlimcld2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
1110ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+ )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) R  e.  RR+ )
13 nfcsb1v 3451 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ C  /  y ]_ R
1413nfel1 2645 . . . . 5  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  e.  RR+
15 csbeq1a 3444 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  R  =  [_ C  /  y ]_ R )
1615eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( R  e.  RR+  <->  [_ C  / 
y ]_ R  e.  RR+ ) )
1714, 16rspc 3208 . . . 4  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ ) )
189, 12, 17sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
193, 18, 5rlimi 13292 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R ) )
201adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  D )
2120adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2322ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
2423ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
26 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y D
27 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  (
z  -  C ) )
2913, 27, 28nfbr 4491 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )
3026, 29nfral 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )
31 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
z  -  y )  =  ( z  -  C ) )
3231fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
z  -  C ) ) )
3315, 32breq12d 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) ) ) )
3433ralbidv 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  ( A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) ) ) )
3530, 34rspc 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) ) )
369, 25, 35sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
38 oveq1 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  C )  =  ( B  -  C ) )
3938fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4039breq2d 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )  <->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4140rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )  ->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4221, 37, 41sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4318ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
4443rpred 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR )
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  D  C_  CC )
4746, 21sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
487ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4947, 48subcld 9926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
5049abscld 13223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
5144, 50lenltd 9726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C
) )  <->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5242, 51mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )
53 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  ->  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5453imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )
5552, 54nsyl 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
5655nrexdv 2920 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
591, 58fmptd 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D )
60 fdm 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
62 rlimss 13281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
634, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
6461, 63eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65 ressxr 9633 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
6664, 65syl6ss 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
67 supxrunb1 11507 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
6957, 68mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x )
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x
)
7170r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  E. x  e.  A  r  <_  x )
72 r19.29 2997 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  E. x  e.  A  r  <_  x )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
7372expcom 435 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  r  <_  x  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7471, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
)  ->  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7556, 74mtod 177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
) )
7675nrexdv 2920 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
7719, 76condan 792 1  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   [_csb 3435    \ cdif 3473    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   RR+crp 11216   abscabs 13024    ~~> r crli 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-rlim 13268
This theorem is referenced by:  rlimrege0  13358  rlimrecl  13359
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