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Theorem rlimcld2 13056
Description: If  D is a closed set in the topology of the complex numbers (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in  D, then the limit of the sequence also lies in 
D. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimcld2.3  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
rlimcld2.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
rlimcld2.5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
rlimcld2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
rlimcld2  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    x, C, y, z    ph, x, y, z    x, D, y, z    x, R, z
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
21ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C )
6 rlimcl 12981 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  CC )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  C  e.  D )
97, 8eldifd 3339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  ( CC  \  D
) )
10 rlimcld2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
1110ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+ )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) R  e.  RR+ )
13 nfcsb1v 3304 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ C  /  y ]_ R
1413nfel1 2589 . . . . 5  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  e.  RR+
15 csbeq1a 3297 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  R  =  [_ C  /  y ]_ R )
1615eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( R  e.  RR+  <->  [_ C  / 
y ]_ R  e.  RR+ ) )
1714, 16rspc 3067 . . . 4  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ ) )
189, 12, 17sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
193, 18, 5rlimi 12991 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R ) )
201adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  D )
2120adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2322ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
2423ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
26 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y D
27 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  (
z  -  C ) )
2913, 27, 28nfbr 4336 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )
3026, 29nfral 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )
31 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
z  -  y )  =  ( z  -  C ) )
3231fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
z  -  C ) ) )
3315, 32breq12d 4305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) ) ) )
3433ralbidv 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  ( A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) ) ) )
3530, 34rspc 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) ) )
369, 25, 35sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
38 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  C )  =  ( B  -  C ) )
3938fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4039breq2d 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )  <->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4140rspcv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )  ->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4221, 37, 41sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4318ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
4443rpred 11027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR )
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  D  C_  CC )
4746, 21sseldd 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
487ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4947, 48subcld 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
5049abscld 12922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
5144, 50lenltd 9520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C
) )  <->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5242, 51mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )
53 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  ->  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5453imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )
5552, 54nsyl 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
5655nrexdv 2819 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
58 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
591, 58fmptd 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D )
60 fdm 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
62 rlimss 12980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
634, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
6461, 63eqsstr3d 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65 ressxr 9427 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
6664, 65syl6ss 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
67 supxrunb1 11282 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
6957, 68mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x )
7069adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x
)
7170r19.21bi 2814 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  E. x  e.  A  r  <_  x )
72 r19.29 2857 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  E. x  e.  A  r  <_  x )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
7372expcom 435 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  r  <_  x  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7471, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
)  ->  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7556, 74mtod 177 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
) )
7675nrexdv 2819 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
7719, 76condan 792 1  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   [_csb 3288    \ cdif 3325    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   CCcc 9280   RRcr 9281   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   RR+crp 10991   abscabs 12723    ~~> r crli 12963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-rlim 12967
This theorem is referenced by:  rlimrege0  13057  rlimrecl  13058
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