MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimadd Structured version   Unicode version

Theorem rlimadd 13684
Description: Limit of the sum of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
rlimadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimadd.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Assertion
Ref Expression
rlimadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  ~~> r  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x    x, E
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem rlimadd
Dummy variables  w  v  y  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 rlimadd.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
31, 2rlimmptrcl 13649 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 rlimadd.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
5 rlimadd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
64, 5rlimmptrcl 13649 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7 rlimcl 13545 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
82, 7syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9 rlimcl 13545 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  ->  E  e.  CC )
105, 9syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
11 ax-addf 9617 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  +  : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
13 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
148adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  D  e.  CC )
1510adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E  e.  CC )
16 addcn2 13635 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  D  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  E. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  D ) )  <  z  /\  ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( D  +  E ) ) )  <  y ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  D ) )  <  z  /\  ( abs `  ( v  -  E ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( D  +  E ) ) )  <  y ) )
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 13632 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  ~~> r  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536    + caddc 9541    < clt 9674    - cmin 9859   RR+crp 11302   abscabs 13276    ~~> r crli 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  caucvgr  13719  fsumrlim  13849  logfacrlim  24006  logexprlim  24007  chpchtlim  24171  selberglem2  24238  signsplypnf  29218
  Copyright terms: Public domain W3C validator