Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Unicode version

Theorem rlim3 12968
 Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
rlim3.4
Assertion
Ref Expression
rlim3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4
2 rlim2.2 . . . 4
3 rlim2.3 . . . 4
41, 2, 3rlim2 12966 . . 3
5 simpr 461 . . . . . . . 8
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
8 ifcl 3826 . . . . . . . 8
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7
10 max1 11149 . . . . . . . 8
116, 10sylan 471 . . . . . . 7
12 elicopnf 11377 . . . . . . . 8
137, 12syl 16 . . . . . . 7
149, 11, 13mpbir2and 913 . . . . . 6
152, 6jca 532 . . . . . . 7
16 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11
17 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
18 max2 11151 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2017, 16, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
21 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
2221sselda 3351 . . . . . . . . . . 11
23 letr 9460 . . . . . . . . . . 11
2417, 20, 22, 23syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10
2519, 24mpand 675 . . . . . . . . 9
2625imim1d 75 . . . . . . . 8
2726ralimdva 2789 . . . . . . 7
2815, 27sylan 471 . . . . . 6
29 breq1 4290 . . . . . . . . 9
3029imbi1d 317 . . . . . . . 8
3130ralbidv 2730 . . . . . . 7
3231rspcev 3068 . . . . . 6
3314, 28, 32syl6an 545 . . . . 5
3433rexlimdva 2836 . . . 4
3534ralimdv 2790 . . 3
364, 35sylbid 215 . 2
37 pnfxr 11084 . . . . . 6
38 icossre 11368 . . . . . 6
396, 37, 38sylancl 662 . . . . 5
40 ssrexv 3412 . . . . 5
4139, 40syl 16 . . . 4
4241ralimdv 2790 . . 3
431, 2, 3rlim2 12966 . . 3
4442, 43sylibrd 234 . 2
4536, 44impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  wral 2710  wrex 2711   wss 3323  cif 3786   class class class wbr 4287   cmpt 4345  cfv 5413  (class class class)co 6086  cc 9272  cr 9273   cpnf 9407  cxr 9409   clt 9410   cle 9411   cmin 9587  crp 10983  cico 11294  cabs 12715   crli 12955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-ico 11298  df-rlim 12959 This theorem is referenced by:  rlimresb  13035  rlimsqzlem  13118  rlimcnp  22339  signsply0  26921
 Copyright terms: Public domain W3C validator