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Theorem rlim3 13540
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some  D  e.  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
rlim3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y    y, D, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    D( x)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 rlim2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 13538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
5 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
76adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  e.  RR )
85, 7ifcld 3958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
9 max1 11480 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
106, 9sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
11 elicopnf 11730 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
127, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
138, 10, 12mpbir2and 930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo ) )
142, 6jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR ) )
15 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  D  e.  RR )
16 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
17 max2 11482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
1815, 16, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
1916, 15ifcld 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
20 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
2120sselda 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
22 letr 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
)  ->  w  <_  z ) )
2316, 19, 21, 22syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z )  ->  w  <_  z ) )
2418, 23mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  w  <_  z ) )
2524imim1d 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
2625ralimdva 2840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
x ) ) )
2714, 26sylan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
28 breq1 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
y  <_  z  <->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
) )
2928imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3029ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3130rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  /\  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)
3213, 27, 31syl6an 547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3332rexlimdva 2924 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3433ralimdv 2842 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
354, 34sylbid 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
36 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
37 icossre 11715 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( D [,) +oo )  C_  RR )
386, 36, 37sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D [,) +oo )  C_  RR )
39 ssrexv 3532 . . . . 5  |-  ( ( D [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4038, 39syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
4140ralimdv 2842 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
421, 2, 3rlim2 13538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4341, 42sylibrd 237 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
) )
4435, 43impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   RR+crp 11302   [,)cico 11637   abscabs 13276    ~~> r crli 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-ico 11641  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  rlimresb  13607  rlimsqzlem  13690  rlimcnp  23756  signsply0  29228
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