MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Unicode version

Theorem rlim3 13093
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some  D  e.  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
rlim3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y    y, D, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    D( x)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 rlim2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 13091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  e.  RR )
8 ifcl 3938 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
10 max1 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
116, 10sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
12 elicopnf 11501 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
137, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
149, 11, 13mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo ) )
152, 6jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR ) )
16 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  D  e.  RR )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
18 max2 11269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
2017, 16, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
21 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
2221sselda 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
23 letr 9578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
)  ->  w  <_  z ) )
2417, 20, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z )  ->  w  <_  z ) )
2519, 24mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  w  <_  z ) )
2625imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
2726ralimdva 2831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
x ) ) )
2815, 27sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
29 breq1 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
y  <_  z  <->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
) )
3029imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3130ralbidv 2845 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3231rspcev 3177 . . . . . 6  |-  ( ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,) +oo )  /\  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)
3314, 28, 32syl6an 545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3433rexlimdva 2945 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3534ralimdv 2833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
364, 35sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
37 pnfxr 11202 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
38 icossre 11486 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( D [,) +oo )  C_  RR )
396, 37, 38sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D [,) +oo )  C_  RR )
40 ssrexv 3524 . . . . 5  |-  ( ( D [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
4241ralimdv 2833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
431, 2, 3rlim2 13091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4442, 43sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
) )
4536, 44impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   ifcif 3898   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   +oocpnf 9525   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   RR+crp 11101   [,)cico 11412   abscabs 12840    ~~> r crli 13080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-ico 11416  df-rlim 13084
This theorem is referenced by:  rlimresb  13160  rlimsqzlem  13243  rlimcnp  22491  signsply0  27095
  Copyright terms: Public domain W3C validator