Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Unicode version

Theorem rlim3 13562
 Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
rlim3.4
Assertion
Ref Expression
rlim3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4
2 rlim2.2 . . . 4
3 rlim2.3 . . . 4
41, 2, 3rlim2 13560 . . 3
5 simpr 462 . . . . . . . 8
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9
76adantr 466 . . . . . . . 8
85, 7ifcld 3954 . . . . . . 7
9 max1 11488 . . . . . . . 8
106, 9sylan 473 . . . . . . 7
11 elicopnf 11738 . . . . . . . 8
127, 11syl 17 . . . . . . 7
138, 10, 12mpbir2and 930 . . . . . 6
142, 6jca 534 . . . . . . 7
15 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11
16 simplr 760 . . . . . . . . . . 11
17 max2 11490 . . . . . . . . . . 11
1815, 16, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
1916, 15ifcld 3954 . . . . . . . . . . 11
20 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12
2120sselda 3464 . . . . . . . . . . 11
22 letr 9735 . . . . . . . . . . 11
2316, 19, 21, 22syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
2418, 23mpand 679 . . . . . . . . 9
2524imim1d 78 . . . . . . . 8
2625ralimdva 2830 . . . . . . 7
2714, 26sylan 473 . . . . . 6
28 breq1 4426 . . . . . . . . 9
2928imbi1d 318 . . . . . . . 8
3029ralbidv 2861 . . . . . . 7
3130rspcev 3182 . . . . . 6
3213, 27, 31syl6an 547 . . . . 5
3332rexlimdva 2914 . . . 4
3433ralimdv 2832 . . 3
354, 34sylbid 218 . 2
36 pnfxr 11420 . . . . . 6
37 icossre 11723 . . . . . 6
386, 36, 37sylancl 666 . . . . 5
39 ssrexv 3526 . . . . 5
4038, 39syl 17 . . . 4
4140ralimdv 2832 . . 3
421, 2, 3rlim2 13560 . . 3
4341, 42sylibrd 237 . 2
4435, 43impbid 193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772   wss 3436  cif 3911   class class class wbr 4423   cmpt 4482  cfv 5601  (class class class)co 6306  cc 9545  cr 9546   cpnf 9680  cxr 9682   clt 9683   cle 9684   cmin 9868  crp 11310  cico 11645  cabs 13298   crli 13549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-er 7375  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-ico 11649  df-rlim 13553 This theorem is referenced by:  rlimresb  13629  rlimsqzlem  13712  rlimcnp  23890  signsply0  29449
 Copyright terms: Public domain W3C validator