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Theorem rlim2lt 12971
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
rlim2lt  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 rlim2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 12970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
5 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
6 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
76sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
8 ltle 9459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  <  z  ->  y  <_  z )
)
95, 7, 8syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <  z  ->  y  <_  z ) )
109imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
1110ralimdva 2792 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
122, 11sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
1312reximdva 2826 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
1413ralimdv 2793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
154, 14sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
16 peano2re 9538 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
1716adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
18 ltp1 10163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
1918ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
2016ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
21 ltletr 9462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
225, 20, 7, 21syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <  ( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  z )  ->  y  <  z ) )
2319, 22mpand 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
2423imim1d 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
2524ralimdva 2792 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
262, 25sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
27 breq1 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
w  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
2827imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
2928ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  A  ( w  <_  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3029rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )
3117, 26, 30syl6an 542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3231rexlimdva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3332ralimdv 2793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
341, 2, 3rlim2 12970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3533, 34sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
) )
3615, 35impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   RR+crp 10987   abscabs 12719    ~~> r crli 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-rlim 12963
This theorem is referenced by:  rlim0lt  12983  rlimcnp  22318  xrlimcnp  22321
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