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Theorem rlim2 13275
Description: Rewrite rlim 13274 for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
rlim2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
32fmpt 6040 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  <->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
41, 3sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
5 rlim2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w ) )
74, 5, 6rlim 13274 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
8 rlim2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
98biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  (
y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
10 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ z  y  <_  w
11 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
12 nffvmpt1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )
13 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z  -
14 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z C
1512, 13, 14nfov 6305 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 w )  -  C )
1611, 15nffv 5871 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )
17 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <
18 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
x
1916, 17, 18nfbr 4491 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
2010, 19nfim 1867 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)
21 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ w
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)
22 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
y  <_  w  <->  y  <_  z ) )
23 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z ) )
2423oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
)  =  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )
2524fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) ) )
2625breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )  <  x ) )
2722, 26imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2820, 21, 27cbvral 3084 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
) )
292fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  =  B )
3029oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C )  =  ( B  -  C ) )
3130fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  =  ( abs `  ( B  -  C ) ) )
3231breq1d 4457 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )
3332imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3433ralimiaa 2856 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  ->  A. z  e.  A  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
35 ralbi 2993 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
361, 34, 353syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3728, 36syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3837rexbidv 2973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3938ralbidv 2903 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
407, 9, 393bitr2d 281 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   RR+crp 11216   abscabs 13024    ~~> r crli 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-pm 7420  df-rlim 13268
This theorem is referenced by:  rlim2lt  13276  rlim3  13277  rlim0  13287  rlimi  13292  rlimconst  13323  climrlim2  13326  rlimcn1  13367  rlimcn2  13369  chtppilim  23385  pntlem3  23519
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