MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim0lt Structured version   Unicode version

Theorem rlim0lt 12979
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim0.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim0.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim0lt  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim0lt
StepHypRef Expression
1 rlim0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 0cnd 9371 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
41, 2, 3rlim2lt 12967 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
) ) )
5 subid1 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  0 )  =  B )
65fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( B  - 
0 ) )  =  ( abs `  B
) )
76breq1d 4297 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x  <->  ( abs `  B )  <  x
) )
87imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
98ralimi 2786 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  ->  A. z  e.  A  ( (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  ( y  <  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
10 ralbi 2848 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
111, 9, 103syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
1211rexbidv 2731 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  B
)  <  x )
) )
1312ralbidv 2730 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
144, 13bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    < clt 9410    - cmin 9587   RR+crp 10983   abscabs 12715    ~~> r crli 12955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-rlim 12959
This theorem is referenced by:  divrcnv  13307  divlogrlim  22055  cxplim  22340  cxploglim  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator