MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim0 Structured version   Unicode version

Theorem rlim0 13413
Description: Express the predicate  B (
z ) converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim0.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim0.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim0  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim0
StepHypRef Expression
1 rlim0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 0cnd 9578 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 13401 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
) ) )
5 subid1 9830 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  0 )  =  B )
65fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( B  - 
0 ) )  =  ( abs `  B
) )
76breq1d 4449 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x  <->  ( abs `  B )  <  x
) )
87imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
98ralimi 2847 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  ->  A. z  e.  A  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
10 ralbi 2985 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
111, 9, 103syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
1211rexbidv 2965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x ) ) )
1312ralbidv 2893 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
144, 13bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   RR+crp 11221   abscabs 13149    ~~> r crli 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9798  df-rlim 13394
This theorem is referenced by:  o1rlimmul  13523  dvfsumrlim  22598  rlimcxp  23501
  Copyright terms: Public domain W3C validator