Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  risefacp1 Structured version   Unicode version

Theorem risefacp1 29395
Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefacp1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A RiseFac  N )  x.  ( A  +  N )
) )

Proof of Theorem risefacp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 10801 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
21adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
3 1cnd 9601 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
42, 3pncand 9923 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
54oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
65prodeq1d 13813 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  +  k )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  +  k ) )
7 elnn0uz 11119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
87biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
98adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 elfznn0 11775 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10850 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
12 addcl 9563 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
1311, 12sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
1413adantlr 712 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
15 oveq2 6278 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( A  +  k )  =  ( A  +  N ) )
169, 14, 15fprodm1 13856 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  +  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
176, 16eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  +  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
18 peano2nn0 10832 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 risefacval 29374 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
2018, 19sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
21 risefacval 29374 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
2221oveq1d 6285 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A RiseFac  N
)  x.  ( A  +  N ) )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
2317, 20, 223eqtr4d 2505 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A RiseFac  N )  x.  ( A  +  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   prod_cprod 13797   RiseFac crisefac 29371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-prod 13798  df-risefac 29372
This theorem is referenced by:  risefacp1d  29397  risefac1  29399
  Copyright terms: Public domain W3C validator