Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  risefacp1 Structured version   Unicode version

Theorem risefacp1 27663
Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefacp1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A RiseFac  N )  x.  ( A  +  N )
) )

Proof of Theorem risefacp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 10687 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
21adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
3 ax-1cn 9438 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
52, 4pncand 9818 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
65oveq2d 6203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
76prodeq1d 27565 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  +  k )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  +  k ) )
8 elnn0uz 10996 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
98biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
11 elfznn0 11579 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
1211nn0cnd 10736 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
13 addcl 9462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
1412, 13sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
1514adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( A  +  k )  e.  CC )
16 oveq2 6195 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( A  +  k )  =  ( A  +  N ) )
1710, 15, 16fprodm1 27608 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  +  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
187, 17eqtrd 2491 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  +  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
19 peano2nn0 10718 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
20 risefacval 27642 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
2119, 20sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
22 risefacval 27642 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k ) )
2322oveq1d 6202 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A RiseFac  N
)  x.  ( A  +  N ) )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  +  k )  x.  ( A  +  N )
) )
2418, 21, 233eqtr4d 2501 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A RiseFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A RiseFac  N )  x.  ( A  +  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   CCcc 9378   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383    x. cmul 9385    - cmin 9693   NN0cn0 10677   ZZ>=cuz 10959   ...cfz 11535   prod_cprod 27549   RiseFac crisefac 27639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-prod 27550  df-risefac 27640
This theorem is referenced by:  risefacp1d  27665  risefac1  27667
  Copyright terms: Public domain W3C validator