Theorem riotav 5565

Description: An iota restricted to the universe is unrestricted.

Assertion

Ref	Expression
riotav	|- (iota_x e. _Vph) = (iotaxph)

Proof of Theorem riotav

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5560	. 2 |- (iota_x e. _Vph) = if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V))
2		iftrue 2989	. . . 4 |- (E!x e. _V ph -> if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V)) = (iotax(x e. _V /\ ph)))
3		iotabi 5094	. . . . 5 |- (A.x(ph <-> (x e. _V /\ ph)) -> (iotaxph) = (iotax(x e. _V /\ ph)))
4		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
5	4	biantrur 794	. . . . 5 |- (ph <-> (x e. _V /\ ph))
6	3, 5	mpg 1332	. . . 4 |- (iotaxph) = (iotax(x e. _V /\ ph))
7	2, 6	syl6reqr 1947	. . 3 |- (E!x e. _V ph -> (iotaxph) = if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V)))
8		reuv 2307	. . . . . . 7 |- (E!x e. _V ph <-> E!xph)
9	8	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. E!x e. _V ph <-> -. E!xph)
10		iotanul 5098	. . . . . 6 |- (-. E!xph -> (iotaxph) = (/))
11	9, 10	sylbi 216	. . . . 5 |- (-. E!x e. _V ph -> (iotaxph) = (/))
12		vprc 3449	. . . . . 6 |- -. _V e. _V
13		fvprc 4678	. . . . . 6 |- (-. _V e. _V -> (Undef` _V) = (/))
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Undef` _V) = (/)
15	11, 14	syl6eqr 1946	. . . 4 |- (-. E!x e. _V ph -> (iotaxph) = (Undef` _V))
16		iffalse 2991	. . . 4 |- (-. E!x e. _V ph -> if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V)) = (Undef` _V))
17	15, 16	eqtr4d 1928	. . 3 |- (-. E!x e. _V ph -> (iotaxph) = if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V)))
18	7, 17	pm2.61i 140	. 2 |- (iotaxph) = if(E!x e. _V ph, (iotax(x e. _V /\ ph)), (Undef` _V))
19	1, 18	eqtr4i 1911	1 |- (iota_x e. _Vph) = (iotaxph)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  E!wreu 2107  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  ` cfv 3998  iotacio 5087  Undefcund 5554  iota_crio 5555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-iota 5089  df-riota 5560

Copyright terms: Public domain