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Theorem riotasvd 32240
Description: Deduction version of riotasv 32243. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvd.1  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasvd.2  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
Assertion
Ref Expression
riotasvd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotasvd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
3 riotasvd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
43adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  e.  A )
52, 4eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A
)
6 riotaclbgBAD 32238 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
9 riotasbc 6282 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
11 eqeq1 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
1211imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
1312ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
14 nfra1 2813 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
15 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
1614, 15nfriota 6276 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1716nfeq2 2608 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
18 eqeq1 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( z  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
1918imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( ( ps 
->  z  =  C
)  <->  ( ps  ->  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2017, 19ralbid 2866 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2113, 20sbcie2g 3339 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
225, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2310, 22mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
24 rsp 2798 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2523, 24syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2625impd 432 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
272eqeq1d 2431 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
2826, 27sylibrd 237 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E!wreu 2784   [.wsbc 3305   iota_crio 6266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32237
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-riota 6267  df-undef 7028
This theorem is referenced by:  riotasv2d  32241  riotasv  32243  riotasv3d  32244  cdleme32a  33720
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