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Theorem riotasvd 34160
Description: Deduction version of riotasv 34163. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvd.1  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
riotasvd.2  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
Assertion
Ref Expression
riotasvd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotasvd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
3 riotasvd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  D  e.  A )
52, 4eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A
)
6 riotaclbgBAD 34158 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
9 riotasbc 6272 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
11 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
1211imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
1312ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C ) ) )
14 nfra1 2848 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
15 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
1614, 15nfriota 6265 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1716nfeq2 2646 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
18 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( z  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
1918imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( ( ps 
->  z  =  C
)  <->  ( ps  ->  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2017, 19ralbid 2901 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  z  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2113, 20sbcie2g 3370 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  /  x ]. A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2310, 22mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
24 rsp 2833 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ps  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) ) )
2625impd 431 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
272eqeq1d 2469 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  =  C  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  C ) )
2826, 27sylibrd 234 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E!wreu 2819   [.wsbc 3336   iota_crio 6255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-riota 6256  df-undef 7014
This theorem is referenced by:  riotasv2d  34161  riotasv  34163  riotasv3d  34164  cdleme32a  35638
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