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Theorem riotass2 6284
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3785 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 755 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 6273 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 6272 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
5 rspsbc 3413 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3369 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
75, 6sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
93, 8mpid 41 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 60 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
12 ssel 3493 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1312ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1411, 13mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B )
15 simprr 757 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 6265 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  ph )
1716nfsbc1 3346 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 3338 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 6279 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2110, 20mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph )
)
2221eqcomd 2465 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   [.wsbc 3327    C_ wss 3471   iota_crio 6257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-sn 4033  df-pr 4035  df-uni 4252  df-iota 5557  df-riota 6258
This theorem is referenced by:  fisupcl  7945  quotlem  22821  adjbdln  27128  rexdiv  27774  cdlemefrs32fva  36227
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