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Theorem riotass2 6266
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3730 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 6255 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 6254 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
5 rspsbc 3356 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3319 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
75, 6sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
93, 8mpid 39 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 59 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
12 ssel 3436 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1312ad2antrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1411, 13mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B )
15 simprr 758 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 6247 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  ph )
1716nfsbc1 3296 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 3288 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 6261 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2110, 20mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph )
)
2221eqcomd 2410 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   E!wreu 2756   [.wsbc 3277    C_ wss 3414   iota_crio 6239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-sn 3973  df-pr 3975  df-uni 4192  df-iota 5533  df-riota 6240
This theorem is referenced by:  fisupcl  7961  quotlem  22988  adjbdln  27415  rexdiv  28074  cdlemefrs32fva  33419
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