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Theorem riotass2 6291
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 761 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 6280 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 6279 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
5 rspsbc 3379 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3342 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
75, 6sylibd 218 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
93, 8mpid 43 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 63 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
12 ssel 3459 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1312ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1411, 13mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B )
15 simprr 765 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 6272 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  ph )
1716nfsbc1 3319 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 3311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 6286 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2110, 20mpbid 214 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph )
)
2221eqcomd 2431 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   E!wreu 2778   [.wsbc 3300    C_ wss 3437   iota_crio 6264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-sn 3998  df-pr 4000  df-uni 4218  df-iota 5563  df-riota 6265
This theorem is referenced by:  fisupcl  7989  quotlem  23245  adjbdln  27728  rexdiv  28396  cdlemefrs32fva  33930
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