Theorem riotaprc 5567

Description: For proper classes, restricted and unrestricted iota are the same.

Assertion

Ref	Expression
riotaprc	|- (-. A e. _V -> (iota_x e. Aph) = (iotax(x e. A /\ ph)))

Proof of Theorem riotaprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 4678	. . . . 5 |- (-. A e. _V -> (Undef` A) = (/))
2	1	adantr 425	. . . 4 |- ((-. A e. _V /\ -. E!x e. A ph) -> (Undef` A) = (/))
3		iffalse 2991	. . . . . 6 |- (-. E!x e. A ph -> if(E!x e. A ph, (iotax(x e. A /\ ph)), (Undef` A)) = (Undef` A))
4	3	adantl 424	. . . . 5 |- ((-. A e. _V /\ -. E!x e. A ph) -> if(E!x e. A ph, (iotax(x e. A /\ ph)), (Undef` A)) = (Undef` A))
5		df-riota 5560	. . . . 5 |- (iota_x e. Aph) = if(E!x e. A ph, (iotax(x e. A /\ ph)), (Undef` A))
6	4, 5	syl5eq 1940	. . . 4 |- ((-. A e. _V /\ -. E!x e. A ph) -> (iota_x e. Aph) = (Undef` A))
7		df-reu 2111	. . . . . . 7 |- (E!x e. A ph <-> E!x(x e. A /\ ph))
8	7	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. E!x e. A ph <-> -. E!x(x e. A /\ ph))
9		iotanul 5098	. . . . . 6 |- (-. E!x(x e. A /\ ph) -> (iotax(x e. A /\ ph)) = (/))
10	8, 9	sylbi 216	. . . . 5 |- (-. E!x e. A ph -> (iotax(x e. A /\ ph)) = (/))
11	10	adantl 424	. . . 4 |- ((-. A e. _V /\ -. E!x e. A ph) -> (iotax(x e. A /\ ph)) = (/))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 1937	. . 3 |- ((-. A e. _V /\ -. E!x e. A ph) -> (iota_x e. Aph) = (iotax(x e. A /\ ph)))
13	12	ex 402	. 2 |- (-. A e. _V -> (-. E!x e. A ph -> (iota_x e. Aph) = (iotax(x e. A /\ ph))))
14		riotaiota 5566	. 2 |- (E!x e. A ph -> (iota_x e. Aph) = (iotax(x e. A /\ ph)))
15	13, 14	pm2.61d2 143	1 |- (-. A e. _V -> (iota_x e. Aph) = (iotax(x e. A /\ ph)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  E!wreu 2107  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  ` cfv 3998  iotacio 5087  Undefcund 5554  iota_crio 5555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-iota 5089  df-riota 5560

Copyright terms: Public domain